Características de las variables aleatorias

Valor Esperado o Esperanza Matemática

En el caso discreto representa la media ponderada de los posible valores que puede tomar la variable aleatoria X.

En el caso continuo representa el centro de la función de densidad.

Para ambos casos es necesaria la condición de convergencia absoluta, es decir, que tengan un valor finito.

· Caso Discreto: quicklatex.com 62e94c4ea95f330246b43f4ae5985f73 l3 Características de las variables aleatorias

· Caso Continuo: quicklatex.com b7ce51f8194e6ae307fd6392e718a16b l3 Características de las variables aleatorias

Propiedades:

  • La esperanza de una constante es la propia constante.
  • quicklatex.com 7b67e6c3b1c155d0b4fe406a1b7fac15 l3 Características de las variables aleatorias
  • quicklatex.com f9258384689939a6483103f9ce1954f5 l3 Características de las variables aleatorias
  • Si tenemos dos funciones:
    quicklatex.com 4d954555218ed2aeb1dbaed25e39118c l3 Características de las variables aleatorias
  • Si X es una variable aleatoria con distribución simétrica respecto a un punto c, entonces si existe, su esperanza quicklatex.com 525cb56d3be3c19270cb84e755cf3860 l3 Características de las variables aleatorias

Valor esperado de una función de una variable aleatoria

En este caso se calcula el valor esperado de una función, a diferencia del caso anterior en el que se calculaba el valor esperado de una variable.

· Caso Discreto: quicklatex.com 5752c55ebf6c1a22ecc9f40ff3547bb2 l3 Características de las variables aleatorias

· Caso Continuo: quicklatex.com ab6dacd6751649067e0626c04313e5b6 l3 Características de las variables aleatorias

Momentos

  • Con respecto al origen:

quicklatex.com eab682e079e8d2aadf2807a1c6c442b5 l3 Características de las variables aleatorias

  • Con respecto a la media o momento central:

quicklatex.com fb4d89ab1dba26209d77937861f86ad8 l3 Características de las variables aleatorias alpha _1=E(X)=bar{x}=muquicklatex.com 589ddc65ad746a5210840eab5ff2c54e l3 Características de las variables aleatorias mu _2=sigma ^2=alpha _2-(alpha _1)^2quicklatex.com 92acee97edaa5b16e41f4ea293c10bff l3 Características de las variables aleatorias sigma = sqrt{sigma ^2}quicklatex.com 8794bd30ae7c45d34450df2b3a8280d2 l3 Características de las variables aleatorias mu _2=sigma ^2=alpha _2-(alpha _1)^2quicklatex.com bc0ea54f01db7dbc601da9d80493b214 l3 Características de las variables aleatorias V(kX)=k^2cdot V(X)+0quicklatex.com baf162547b36f965617213e129b11d9d l3 Características de las variables aleatorias V(Xpm Y)=V(X)+V(Y)quicklatex.com a6284e43a3b05a41385173c286130178 l3 Características de las variables aleatorias CV=dfrac{sigma}{mu}quicklatex.com 75c04e42f3118ea60fd11c012d3c9849 l3 Características de las variables aleatorias sigma _r^2=V(dfrac{X-O_r}{e})=dfrac{1}{e^2}cdot V(X)=dfrac{sigma _x^2}{e^2}quicklatex.com 271590b3fc0783eb4fe3961bd0fadf39 l3 Características de las variables aleatorias CV_r=dfrac{sigma _r}{mu _r}=dfrac{frac{sigma _x}{e}}{frac{mu _x – O}{e}}=dfrac{sigma x}{mu _x-O}quicklatex.com c6715523a82991016e5ff6841926f2a5 l3 Características de las variables aleatorias O_T=0quicklatex.com 4dc5865b7960cacf53266472752a96dc l3 Características de las variables aleatorias Z=dfrac{X-mu}{sigma} quad N(0,1)quicklatex.com a8438737edb9762c5beb035cecf22994 l3 Características de las variables aleatorias sigma > 0quicklatex.com bc85074b2ce47fe2053627545db5b746 l3 Características de las variables aleatorias P(Xleq x_q)geq qqquad P(Xgeq x_q)leq 1-qquicklatex.com fe4d2f07a08cfeb1fee3d0e58c4a8750 l3 Características de las variables aleatorias P(Xleq x_q)=1qquad F(x_q)=qquicklatex.com 46c974f5e46ee17eebb08874f237f09e l3 Características de las variables aleatorias 0leq qleq 1quicklatex.com 31298d268ff691bcce9ba682e609c232 l3 Características de las variables aleatorias f’(M_o)=0 ; f”(M_o)<0quicklatex.com c12b8925ca7e2240bf41552e3ad4d1c8 l3 Características de las variables aleatorias E[|X-M_e|]=displaystyleint_{-infty }^{+infty }|x-M_e|f(x)dxquicklatex.com a8711a8a126f238fc35b3c6d73379a78 l3 Características de las variables aleatorias R_Q=Q_3-Q_1quicklatex.com afca6f4c50b97bac9b2033b75dca4204 l3 Características de las variables aleatorias gamma _1=dfrac{mu _3}{sigma ^3} qquad begin{array}{ll} gamma _1 = 0 & mbox(simetrica) \ gamma _1<0 & mbox{asimetrica negativa} \ gamma _1>0 & mbox{asimetrica positiva}end{array}quicklatex.com 25fc2a52b1f1b22ba48ff27025f3edfd l3 Características de las variables aleatorias gamma _2=dfrac{mu _4}{sigma ^4}-3 qquad begin{array}{ll} gamma _2 = 0 & mbox{mesocurtica o normal} \ gamma _1<0 & mbox{platicurtica} \ gamma _1>0 & mbox{leptocurtica}end{array}quicklatex.com b076a8f8c5af3959157337ff7ab8a9f6 l3 Características de las variables aleatorias P(>geq 0)=1quicklatex.com 8c44d412af0bd5105c0eb809db1c78e4 l3 Características de las variables aleatorias k>0 quad P(Pgeq k)leq dfrac{E(X)}{k}quicklatex.com cb4427b234e7ec2886f9d77a34e6c5d3 l3 Características de las variables aleatorias k>0quicklatex.com f840a3099edac79879aeae31b3c4914a l3 Características de las variables aleatorias sigmaquicklatex.com 86b580bbf62d60362d503ed702573d01 l3 Características de las variables aleatorias sigmaquicklatex.com d409e278f479a88e4bbcb9f0521f097e l3 Características de las variables aleatorias sigmaquicklatex.com ee92ee181f86b93fec916c84e02bbff8 l3 Características de las variables aleatorias k=lambdasigmaquicklatex.com 7cacb22c7d7799747d6d63b708602a01 l3 Características de las variables aleatorias lambda >0quicklatex.com 3146e28d2a23a8dee312bcadc40f7a7c l3 Características de las variables aleatorias P[|X-mu |geq lambdasigma ]leqdfrac{sigma ^2}{lambda ^2sigma ^2}=dfrac{1}{lambda ^2}quicklatex.com 589ddc65ad746a5210840eab5ff2c54e l3 Características de las variables aleatorias P[mu -lambdasigma < X < mu + lambdasigma ]geq 1-dfrac{1}{lambda ^2}quicklatex.com 8690910b8baf46b6de9ea9a96c072d3f l3 Características de las variables aleatorias g_x(t)=E(e^{tx})quicklatex.com ea6cb0fe84f32c2ada3374388d3cdca4 l3 Características de las variables aleatorias E(e^{tx})=displaystylesum P(x_i)e^{tx_i}quicklatex.com 808f0f2a9c62de0d53eb8b34738c29a5 l3 Características de las variables aleatorias E(e^{tx})=displaystyleint_{-infty }^{+infty }e^{tx}f(x)dxquicklatex.com 76fe13da0a505dfb61ce54ca53f6ec4d l3 Características de las variables aleatorias E[g(X,Y)]=displaystylesumsum g(x_i,y_j)P[X=x_i,Y=y_j]quicklatex.com 3c3e084142b1b8650664dcc7d445f788 l3 Características de las variables aleatorias displaystyleint_{-infty }^{+infty }int_{-infty }^{+infty }g(x,y)f(x,y)dxdyquicklatex.com 7612489a89a4ddd14b002b751efe7b2d l3 Características de las variables aleatorias E[XY]=E(X)E(Y)quicklatex.com dd91116d747b1e8fbee71a53f6baa6c0 l3 Características de las variables aleatorias alpha _{rs}=E[X^rY^s] qquad r,s=0,1,2,cdotsquicklatex.com 921828f428c81c3663c35d0fb6b088ee l3 Características de las variables aleatorias mu _{rs}=E[(X-bar{X}^r)(Y-bar{Y})^s] qquad r,s=0,1,2,cdotsquicklatex.com 0df2c78ca7dfc57b49105b16af5089c1 l3 Características de las variables aleatorias COV(X;Y)>0quicklatex.com 0443a555d5a2020562eb12834de87513 l3 Características de las variables aleatorias COV(X;Y)<0quicklatex.com 14eb899d9b5a1dc2f97db91753d08526 l3 Características de las variables aleatorias COV(X;Y)=0quicklatex.com 3fb96cdae462efa4de6ba037ced1211c l3 Características de las variables aleatorias COV(X;Y)=0quicklatex.com b810b0cdd00ee5ef530b373052f5fae4 l3 Características de las variables aleatorias U=aXquad V=bYquicklatex.com 026682dfddee949c5d1faccc02b60887 l3 Características de las variables aleatorias COV(U,V)=abcdot COV(X;Y)quicklatex.com 9327447b616212f3861e293d646f1815 l3 Características de las variables aleatorias COV(X;Y)=COV(Y;X)quicklatex.com 9327447b616212f3861e293d646f1815 l3 Características de las variables aleatorias COV(X,X)=V(X)quicklatex.com 9327447b616212f3861e293d646f1815 l3 Características de las variables aleatorias COV(X,a)=0quicklatex.com 9327447b616212f3861e293d646f1815 l3 Características de las variables aleatorias COV(X+Y;Z)=COV(Z,X+Y)=COV(X,Z)+COV(Y;Z)quicklatex.com 9327447b616212f3861e293d646f1815 l3 Características de las variables aleatorias V(Xpm Y)=V()+V()pm 2cdot COV(X;Y)quicklatex.com b1cb17ba314ce74c6b07318bbc20adcc l3 Características de las variables aleatorias V(Xpm Y)=V(X)+V(Y)quicklatex.com e9fa6ccf566eb5e62b510d9a34adbc1c l3 Características de las variables aleatorias rho _{xy}=dfrac{COV(X,Y)}{sigma _Xcdotsigma _Y}=dfrac{mu _{11}}{sqrt{mu _{20}}cdotsqrt{mu _{02}}}quicklatex.com 33e89573a341ec08b20fcab0b3f0aefa l3 Características de las variables aleatorias -1 leq rho _{xy} leq 1quicklatex.com 9327447b616212f3861e293d646f1815 l3 Características de las variables aleatorias rho _{xy}=1quicklatex.com 492ba5b1c7f312523bd45819c96177cb l3 Características de las variables aleatorias rho _{xy}=0quicklatex.com 08578e1a19ec04d738ade391a8b0e056 l3 Características de las variables aleatorias rho _{xy}>0quicklatex.com 46782a3f0b2c7237cddbc22dd768dbdc l3 Características de las variables aleatorias rho _{xy}<0quicklatex.com 7dac59cb7d82b94b936058ca3603a737 l3 Características de las variables aleatorias g(t_1,t_2)=E[e^{t_1x+t_2y}]=displaystylesum e^{t_1x+t_2y}P(x,y)quicklatex.com fe4d2f07a08cfeb1fee3d0e58c4a8750 l3 Características de las variables aleatorias g(t_1,t_2)=E[e^{t_1x+t_2y}]=displaystyleint_{-infty }^{+infty }int_{-infty }^{+infty } e^{t_1x+t_2y} f(x,y)dxdy$


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