Estadistica

Los principales métodos de estimación de parámetros de un modelo probabilístico o de coeficientes de un modelos matemático son los siguientes

• Método de los momentos
• Método de máxima verosimilitud
• Mínimos cuadrados

Para la estimación de parámetros de distribuciones de probabilidad, los métodos empleados son los dos primeros, mientras que el segundo se usa principalmente en los estudios de regresión.

Método de los momentos

Es el método más sencillo y antiguo. Se suele utilizar para obtener una primera aproximación de los estimadores. Se igualan tantos momentos muestrales, como parámetros se tengan que estimar.

Propiedades de los estimadores obtenidos por el método de los momentos:

• Si los parámetros desconocidos son momentos poblacionales, entonces los estimadores obtenidos serán insesgados y asintóticamente normales
• Bajo condiciones bastantes generales, los estimadores obtenidos serán consistentes.

Método de la máxima verosimilitud

En esencia el método consiste en seleccionar como estimador del parámetro, de un modelo probabilístico, a aquél valor que tiene la propiedad de maximizar el valor de la probabilidad de la muestra observada. Es decir, encontrar el valor del parámetro que maximiza la función de verosimilitud.
Propiedades de los estimadores obtenidos por el método de máxima verosimilitud:

• Los estimadores de máxima verosimilitud son consistentes.
• En general no son insesgados, pero si no son insesgados son asintóticamente insesgados (el estimador  converge al parámetro θ, y en el límite coincide con su valor medio, que es el parámetro θ).
• Todo estimador de máxima verosimilitud no es eficiente, pero sí son asintóticamente eficientes.
• Son asintóticamente normales.
• Son suficientes.

Muestra aleatoria

Una muestra aleatoria simple de tamaño “ n “ consiste en n objetos (individuos) de una población de N objetos ( individuos ), escogidos de manera que cualquier conjunto de n objetos de la población tenga la misma oportunidad de convertirse en la muestra realmente seleccionada.
Una muestra aleatoria simple no sólo da a cada individuo la misma oportunidad de ser escogido evitando por tanto el sesgo en la selección (diremos que el diseño de un estudio es sesgado si favorece sistemáticamente ciertos resultados), sino que también da a cada posible muestra la misma oportunidad de ser escogida.

Puede pensarse en el proceso de muestreo aleatorio simple de la forma siguiente:
Supongamos que los N miembros de la población se introducen en un enorme sombrero y se mezclan concienzudamente. Una muestra aleatoria simple se obtiene extrayendo a  n  de ellos. En la práctica no es necesario hacerlo de este modo, los programas estadísticos pueden escoger una muestra aleatoria simple casi de forma instantánea de una lista de individuos de una población, o también se puede aleatorizar utilizando una tabla de dígitos aleatorios.

Por el momento nos limitaremos a muestras que hayan sido seleccionadas mediante esquemas de muestreo aleatorio simple. Sin embargo, debemos aclarar que este no es el único procedimiento que existe para elegir individuos de una población, y que, en determinadas circunstancias, pueden resultar preferibles esquemas de muestreo alternativos.

Parámetros poblacionales y estadísticos muestrales

Generalmente diremos que los parámetros poblacionales son las características numéricas de la población. En la estadística clásica un parámetro se puede considerar como una constante fija cuyo valor se desconoce. Uno de los problemas más comunes en la estadística inferencial es estudiar una población con una función de distribución donde la forma de la función de distribución es conocida pero depende de un parámetro desconocido, ya que si fuese conocido tendríamos totalmente especificada la función de distribución.

Un estadístico es una variable aleatoria, que es función de las observaciones muestrales y no contiene ningún valor o parámetro desconocido. Continuando con la población de función de distribución , y considerando una muestra aleatoria simple  constituida por   variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas  podemos definir como estadísticos:

… etc.
Por tanto, parámetro y estadístico son conceptos muy diferentes. Un parámetro es una constante que describe la población y cuando se conoce queda determinado el modelo probabilístico y un estadístico es una variable aleatoria cuyo valor depende de las observaciones muestrales.
Veamos el siguiente cuadro:

Dada una población finita de tamaño N, y una muestra aleatoria simple de tamaño  n, , obtenida de la población de partida, tenemos:

	PARÁMETROS POBLACIONALES	ESTADÍSTICOS MUESTRALES
MEDIA
VARIANZA
PROPORCIÓN

Si la población de partida no es finita utilizaremos la misma notación para designar a estos parámetros poblacionales, pero estos no pueden ser calculados a partir de muestras finitas, sino que tendremos que recurrir al cálculo de valores esperados de variables aleatorias de tipo continuo.

La estadística inferencial o inductiva consiste en utilizar un estadístico para llegar a una conclusión o inferencia sobre el parámetro poblacional correspondiente. Por ejemplo, podemos calcular la media aritmética de una muestra, recurriendo al estadístico , y utilizarlo como estimación de la media aritmética de la población ; el estadístico se utiliza como estimador del parámetro.

Función de distribución empírica

La función de distribución empírica tiene las mismas propiedades que la función de distribución de la variable aleatoria, lo que implica que cuando el tamaño de la muestra crece, la gráfica de la función de distribución empírica se aproxima bastante a la de la función de distribución de la población, con lo que puede utilizarse como estimador de la misma. 
 
Siendo el número de valores observados menores o iguales que .

Distribución muestral de estadísticos

Es importante recordar que en el análisis estadístico tiene mucha importancia la información obtenida de una muestra representativa de la población: un director de una empresa elige una muestra representativa para determinar el grado de satisfacción que presentan los usuarios de su producto, un partido político selecciona una muestra de ciudadanos para analizar si su programa político producirá los resultados deseados, etc en estos casos los resultados obtenidos sólo son estimaciones de lo que ocurre en toda la población. El valor del estadístico es aleatorio porque depende de los elementos elegidos en la muestra seleccionada y, por lo tanto, el estadístico tiene una distribución de probabilidad la cual llamamos Distribución Muestral del Estadístico. Esta distribución dependerá del tamaño de la muestra, luego podemos decir que existe diferencia entre la distribución de la población de la cual se ha tomado la muestra y la distribución de alguna función de esa muestra.

La distribución muestral de un estadístico se puede obtener tomando todas las posibles muestras de la población de un tamaño fijado n calculando el valor del estadístico para cada una de las muestras y construyendo la distribución de estos valores. Como para cualquier distribución, las dos medidas fundamentales son la media y la desviación típica, también denominada error típico.

En esta asignatura estudiaremos las distribuciones muestrales del los estadísticos media, varianza y proporción muestral, pues son de bastante utilidad en diferentes aplicaciones estadísticas.

Distribución muestral del estadístico media muestral

Cuando se conoce la varianza poblacional

Si tenemos una muestra aleatoria de tamaño n procedente de una población con distribución normal entonces la distribución del estadístico media muestral será:
  , si tipificamos
Si la distribución no es normal, basta que para que la media muestral siga una distribución normal, por el Teorema Central del Límite.

Cuando no se conoce la varianza poblacional

Calculamos la varianza muestral y la usamos como varianza poblacional (cuasi varianza)

Distribución muestral del estadístico varianza muestral

A partir de la definición de la cuasivarianza muestral, obtenemos:

Cuando no se conoce la media poblacional.

Cuando se conoce la media poblacional.

Distribución muestral del estadístico proporción muestral

Sea una muestra aleatoria simple de tamaño n procedente de una población con distribución B(1, p)

Si tipificamos:

Esta distribución resulta útil no sólo porque un gran número de distribuciones de frecuencias presentan formas aproximadamente normales, sino también por su gran significado teórico en el campo de la estadística inferencial. En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:

• Caracteres morfológicos de individuos: talla, peso,..
• Caracteres sociológicos: consumo de un cierto producto por un grupo de individuos, puntuaciones de examen…
• Caracteres psicológicos: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,..
• Valores estadísticos muestrales: la media.
• Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales.

No obstante, hay que tener cuidado al suponer que un determinado conjunto de observaciones se puede aproximar por una distribución normal.

La distribución normal la obtuvo inicialmente De Moivre en 1733 como límite o aproximación de la distribución cuando  . Posteriormente Gauss en 1809 y Laplace en 1812 llegaron a obtenerla empíricamente al estudiar la distribución de errores accidentales en Astronomía y Geodesia.

Una justificación de la frecuente aparición de la distribución normal es el teorema central del limite, que veremos más tarde, que establece que cuando los resultados de un experimento son debidos a un conjunto muy grande de causas independientes, que actúan sumando sus efectos, siendo cada efecto individual de poca importancia respecto al conjunto, es esperable que los resultados sigan una distribución normal

La curva normal responde al tipo de curva perfectamente simétrica, y unimodal basada en un número infinito de casos, por lo que sólo puede ser tratada de forma aproximada cuando se opera con datos reales. Por tratarse de una curva simétrica coinciden la media, la moda y la mediana.

Diremos que la variable aleatoria, de tipo continuo, sigue una distribución Normal de parámetros ,  si su función de densidad es:
, donde y tales que y

La función de densidad depende de dos parámetros: media y varianza de la distribución, y puede verse por la definición que no hay una única distribución normal sino una familia completa de  distribuciones.
Abreviadamente esta distribución la indicaremos por:
Se observa que tiene forma de campana, de aquí que frecuentemente se le llame curva o campana de Gauss.
Los parámetros:

• , es el centro de la distribución y también se corresponde con el punto máximo de la distribución.
• , nos da una idea del grado de apertura de la distribución.

Veamos los siguientes ejemplos:

• En este caso tenemos dos curvas normales y   que tienen distintas medias pero tienen la misma desviación típica, por tanto sus centros están en diferentes lugares pero el grado de apertura de ambas distribuciones es el mismo.
• En este segundo caso tenemos dos curvas normales  y  que tienen distintas desviaciones típicas pero tienen la misma media. Ahora las curvas están centradas en el mismo punto  m  pero su grado de apertura es distinto. Como  d 1 < d 2 la curva de mayor desviación típica, en este caso d 2 tendrá una mayor dispersión.

Características de ésta distribución:

Función de distribución:

La integral correspondiente a esta función de distribución sólo puede calcularse mediante métodos numéricos aproximados. Una manera de simplificar estos cálculos es mediante el proceso de tipificación de una variable aleatoria normal, que nos permite pasar de una a una

La variable normal con media cero y desviación típica la unidad se denomina normal estándar $N(0,1)$; su función de distribución está tabulada. Para calcular probabilidades en el caso general, transformaremos la variable aleatoria normal en la variable normal estándar , mediante:

Si aplicamos el cambio de variable tenemos como función de densidad: 

y su función de distribución es: 

Las características que presenta la normal tipificada son:

• No depende de ningún parámetro.
• La curva es  también es simétrica respecto del eje OY.
• Para realizar la representación gráfica de la función de densidad correspondiente a la normal procederíamos de forma análoga a como se hizo para la distribución .

Media y Varianza

Cálculo de probabilidades

Sea una variable aleatoria normal con función de distribución acumulada , y sean y dos posibles valores que verifican que . Entonces:

Cualquier probabilidad puede obtenerse a partir de la función de distribución acumulada, sin embargo, como vimos anteriormente calcular la integral correspondiente a esta función de distribución sólo puede hacerse mediante métodos numéricos aproximados. No obstante cualquier distribución normal  puede expresarse como una normal estándar : 
 
Donde es una variable aleatoria normal estándar que está tabulada. En esta tabla encontraremos los valores de:

No debemos olvidar que se trata de una distribución simétrica y que el área bajo la curva normal es igual a la unidad. Por tanto:

Valoración de la normalidad

La decisión de describir una distribución mediante una curva normal puede determinar el análisis que posteriormente se haga de los datos. Una forma de ver si los datos son aproximadamente normales es observando su histograma. Este nos puede revelar de forma clara características no normales de una distribución: las asimetrías prolongadas, los vacíos entre datos, etc.
Una forma de valorar si una distribución es normal es señalando los puntos en el eje de ordenadas y observando la probabilidad comprendida en estos intervalos. En el caso de una distribución normal :

• El 68,3 % de las observaciones se encuentran entre
• El 95,5 % de las observaciones se encuentran entre  
• El 97,7 % de las observaciones se encuentran entre  

Propiedades de ésta distribución

• Si son variables aleatorias independientes, distribuidas según una , y si , entonces la variable aleatoria: , sigue una distribución: 
• La suma de n variables aleatorias independientes, y distribuidas según una sigue una distribución:
• Si son n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según una , entonces la variable aleatoria suma de las n variables: , sigue una distribución:
• Si son n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según una , entonces la variable aleatoria media aritmética de estas  n  variables: , sigue una distribución:

Aproximación a la distribución normal la distribución binomial

El teorema de Moivre (1.756) permite realizar esta aproximación considerando que las variables aleatorias sigan una distribución binomial con: . Este teorema fue generalizado posteriormente  por Laplace en 1.810 para distribuciones no simétricas .

Vimos que la variable aleatoria binomial  era el número de éxitos que tienen lugar cuando se realizan n repeticiones independientes de un experimento o prueba de Bernoulli. La variable aleatoria puede escribirse como la suma de n variables aleatorias de Bernoulli:

Si es una variable aleatoria binomial, , con media y desviación típica entonces, cuando la variable aleatoria: , es decir:  
En la práctica, decir que n es lo suficientemente grande, se traduce en: 

Lo que se hace es aproximar una distribución discreta, como es la binomial, a una distribución normal que es continua, y ya que en el caso continuo la probabilidad o masa asociada a un valor concreto de la variable aleatoria es nulo, tendremos que utilizar la corrección de continuidad de Fisher para calcular la probabilidad deseada:

Probabilidad en	Corrección de continuidad

Aproximación a la distribución normal la distribución de Poisson

En el caso de la distribución de Poisson, la variable aleatoria nos establece el número de veces que ocurre un suceso en un determinado intervalo de tiempo, sabemos que la media y la varianza  de esta distribución coincide con el parámetro .

Si el número de ocurrencias esperadas es elevado y el intervalo de tiempo se divide en subintervalos de idéntica longitud. En ese caso, el número total de ocurrencias es la suma de las ocurrencias de cada subintervalo, y puede verse como la suma de un número moderadamente grande de variables aleatorias, cada una de las cuales representa el número de ocurrencias en un subintervalo del periodo de tiempo, puede utilizarse la distribución normal como una aproximación a la distribución de Poisson. En la práctica la aproximación es aceptable si .

El procedimiento práctico es análogo al caso de la binomial, así pues si tenemos una variable aleatoria   que se distribuye según una distribución de Poisson de parámetro , entonces cuando la variable aleatoria: 
, es decir:

Al igual que en el caso de la distribución binomial es necesario aplicar la corrección de continuidad para calcular las probabilidades.

Consideramos un experimento en el que observamos la aparición de sucesos puntuales sobre un soporte continuo. Suponemos que el proceso se caracteriza por:

1. Es estable, produce a largo plazo un número medio de sucesos constante por unidad de tiempo, espacio, área…
2. Los sucesos aparecen aleatoriamente de forma independiente, es decir, el proceso no tiene memoria: conocer el número de sucesos en un intervalo no ayuda a predecir el número de sucesos en el siguiente.

Definimos una variable aleatoria de Poisson como el número de sucesos de un intervalo de longitud fija. En este caso, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson depende solamente del número de resultados que ocurren en un intervalo.

Diremos que la variable aleatoria x sigue una distribución de Poisson de parámetro , si su distribución es:

Características:

Función de distribución

Media y Varianza

Propiedad reproductiva

Si y son dos variables independientes distribuidas según una distribución de Poisson, y respectivamente, entonces la variable aleatoria: se distribuye según una distribución Poisson de parámetro ,

Este modelo se utiliza principalmente en situaciones en las que solo pueden ocurrir dos resultados posibles mutuamente excluyentes, uno de ellos de probabilidad p y el otro de probabilidad q=1-p

Supongamos un experimento consistente en observar elementos de una población, con las siguientes características:

• Mediante esta observación los elementos sólo pueden clasificarse en dos categorías, que generalmente se llamarán "éxito" al suceso de probabilidad p y "fracaso" al suceso de probabilidad q=1-p
• La proporción de sucesos "éxito" y "fracaso" en la población es constante y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada. Esto implica que los elementos se reemplazan una vez observados en la población.
• Las observaciones son independientes, la probabilidad de "éxito" es siempre la misma, no se modifica.

Diremos que una variable aleatoria X sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p si su distribución de probabilidad está dada por:

La variable aleatoria X quedará definida como:

Abreviadamente: ó

Características:

I. Función de distribución:
II. Media:
III. Varianza:
IV. Función generatriz de momentos: