Matemáticas

Préstamos. Planteamiento general

por Antonio Martinez en Matemática Financiera II, Matemáticas

Concepto

Operación financiera por la que una de las partes (prestamista) entrega un capital a la otra parte (prestatario) a cambio de recibir su equivalente mediante uno o varios pagos escalonados a lo largo de su duración.

Como en toda operación financiera se ha de verificar la equivalencia financiera entre los compromisos de las partes:

$Préstamos. Planteamiento general$

Cálculo de las variables más significativas

Cualquiera que sea la modalidad de préstamo elegida se van a calcular las siguientes variables:

A partir de la ecuación de equivalencia financiera se va a obtener el valor del término amortizativo ( $Préstamos. Planteamiento general$ )
El capital vivo ( $Préstamos. Planteamiento general$ ) es el saldo financiero en cualquier momento de la duración
Los intereses ( $Préstamos. Planteamiento general$ ) se obtienen a partir del capital vivo ( $Préstamos. Planteamiento general$ )
La cuota de amortización ( $Préstamos. Planteamiento general$ ) es igual a la diferencia entre los capitales vivos de dos períodos consecutivos: $Préstamos. Planteamiento general$ y verifican que $Préstamos. Planteamiento general$

Métodos clásicos de amortización

Método	Término amortizativo	Capital Vivo	Cuota de interés	Cuota amortizativa
Francés $Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$ $Préstamos. Planteamiento general$
Cuotas de amortización constantes $Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$
Americano simple	$Préstamos. Planteamiento general$ $Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$ $Préstamos. Planteamiento general$
Americano con fondos (Sinking-Fund)	$Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$ $Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$	$Préstamos. Planteamiento general$ $Préstamos. Planteamiento general$

Operaciones bursátiles

por Antonio Martinez en Matemática Financiera I, Matemáticas

Son operaciones financieras que se realizan en las bolsas de valores donde se negocian los valores mobiliarios que determina la Comisión Nacional del Mercado de Valores (CNMV).

Los mercados de valores engloban a:

Bolsas de valores, en las que el mayor volumen de negociación se realiza con acciones.
Mercado de deuda pública anotada, en el que la negociación se realiza a través de la Central de Anotaciones del Banco de España.
El mercado de derivados y futuros financieros.
El mercado AIAF en el que se negocian pagarés de empresa, emisión de obligaciones, etc.

Las Bolsas de Valores

Mercado en el que se negocian acciones, derechos de suscripción y valores convertibles. En España existen cuatro bolsas (Madrid, Barcelona, Bilbao y Valencia), integradas en una Sociedad de Bolsas.

En la actualidad la contratación se hace a través de un sistema casi en exclusiva a través del mercado continuo que utiliza el sistema electrónico SIBE (Sistema de Interconexión Bursátil Español).

Lo habitual a la hora de adquirir o vender un título es ponerse en contacto con una Sociedad o Agencia de Valores a través de las cuales se ejecutan las operaciones de compra-venta de títulos.

Operaciones al contado

Junto con las operaciones con crédito al mercado y las operaciones a plazo (futuros y opciones) constituyen las operaciones bursátiles más demandadas.

En las operaciones al contado se produce un intercambio entre títulos y dinero en efectivo el mismo día de la contratación aunque la liquidación se realiza pasados unos días.

Además del precio que tiene el título en el mercado (P) hay que tener en cuenta la comisión (c_c y c_v) que cobra el intermediario financiero y el canon por operaciones que percibe la Sociedad Rectora de la Bolsa y el canon por liquidación y compensación bursátil (c_b) que percibe el Servicio de Liquidación y Compensación (SLC).

$Operaciones bursátiles$

Operaciones con crédito al mercado

Las operaciones de compra y venta de títulos con crédito al mercado son operaciones bursátiles al contado, lo cual quiere decir que aunque la devolución del efectivo (en el caso de la compra) o de los valores (en el caso de la venta) se realiza transcurrido cierto plazo, las obligaciones de la entrega de valores y del efectivo se han de cumplir en el momento de la compra-venta. En definitiva, se trata, en el caso de la compra, de adquirir acciones sin disponer del dinero necesario o de vender acciones, en el caso de la venta, sin tener físicamente esas acciones. Bajo este planteamiento subyace el verdadero interés del inversor, ya que acude a la compra a crédito porque sus expectativas son de aumento en el precio del título y vende a crédito porque espera que se produzca una bajada en el precio del valor.

Rentabilidad bursátil

Las variables que se manejan a la hora de calcular las distinta clases de rentabilidad son las siguientes:

D = Dividendos brutos
P^c = Precio de compra sin incluir gastos y comisiones
P_e^c = Precio efectivo de compra
P^v = Precio de venta sin incluir gastos y comisiones
P_e^v= Precio efectivo de venta
C = Valor nominal del título
t = Tipo marginal en el IRPF
c_m= Comisión de custodia que percibe la entidad financiera por tener depositados los títulos

En función de los rendimientos y del precio que se tomen en cuenta hay distintas medidas de la rentabilidad

a) Rentabilidad a corto plazo

Se supone que los títulos se mantienen durante un breve período de tiempo.

$Operaciones bursátiles$

b) Rentabilidad a largo plazo

· Los títulos se mantienen durante varios años antes de venderlos

$Operaciones bursátiles$ $Operaciones bursátiles$

· Los títulos se mantienen con carácter indefinido

$Operaciones bursátiles$

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Cuentas corrientes

por Antonio Martinez en Matemática Financiera I, Matemáticas

Cuando dos personas tienen una relación comercial fluida se puede optar por abrir una cuenta corriente comercial en vez de estar liquidando de forma individual cada transacción.

En esa cuenta corriente se irán anotando todos los hechos que den lugar a movimientos de capitales entre las partes con el compromiso de liquidar el saldo cuando llegue el vencimiento acordado por las partes.

Clases

Se distinguen distintas clases de cuentas corrientes en función del criterio que se utilice.

Criterio	Cuenta Corriente	Observaciones
Por el tipo de interés	A tanto constante	El tipo de interés es el mismo durante todo el tiempo que dura la operación.
	A tanto variable	El tanto varía durante el transcurso de la operación
Por la existencia de tipo de interés	Simple	Los capitales no devengan intereses. El saldo se halla por la diferencia entre la suma de las cuantías de cada parte
	Con interés	Los capitales devengan intereses
Por las partes intervinientes	Comerciales	La cuenta corriente se suscribe entre empresas
	Bancarias	Una de las partes que suscribe la cuenta es una entidad financiera

Procedimiento de liquidación de una cuenta corriente con interés

Para liquidar una cuenta corriente se pueden utilizar tres métodos: directo, indirecto y hamburgués. Los tres tienen en común que calculan de una forma abreviada el montante en la fecha de cierre generado por los capitales aportados por cada parte. Las diferencias entre cada uno de ellos radican en la forma de obtener esos montantes.

$Cuentas corrientes$

El cálculo de los intereses se puede abreviar de la siguiente forma:

$Cuentas corrientes$

Cuentas corrientes a interés recíproco

Se llaman así porque el tipo de interés que se aplica es el mismo tanto para las partidas del Debe como del Haber.

Método Directo

Consiste en capitalizar todos los capitales hasta la fecha de cierre o liquidación y calcular el saldo correspondiente. La liquidación se hace a través de una tabla con el siguiente esquema:

		Cuantías				Números
Fecha	Concepto	Debe	Haber	Vencimiento	Días	Debe	Haber
(1)	(2)	(3)		(4)	(5)	(6)

Momento en que se produce el devengo del capital
Descripción del movimiento u operación
Importe monetario de cada operación
Fecha en la que se hace efectivo el pago o cobro de cada cuantía
Días naturales que transcurren entre el vencimiento de cada cuantía y la fecha de cierre
Producto de cada cuantía por sus respectivos días. Para trabajar con números más cómodos el resultados se divide por 100.

Una vez obtenidos todos los números se halla su saldo para calcular los intereses a través de la expresión:

$Cuentas corrientes$

Serán a favor del Debe si el saldo de números ha resultado deudor (D>H) y serán a favor del haber si el saldo de números ha resultado acreedor (D<H). Calculados los intereses se obtiene la liquidación final calculando el saldo de cuantías.

Método Indirecto

Uno de los inconvenientes que presenta el método directo es que puede haber días y números negativos. Si hay algún capital con vencimiento posterior a la fecha de cierre. Este inconveniente se elimina utilizando este método que establece una fecha (época) anterior al vencimiento de los capitales para calcular los días.

		Cuantías				Números
Fecha	Concepto	Debe	Haber	Vencimiento	Días	Debe	Haber
(1)	(2)	(3)		(4)	(5)	(6)

Momento en que se produce el devengo del capital
Descripción del movimiento u operación
Importe monetario de cada operación
Fecha en la que se hace efectivo el pago o cobro de cada cuantía
Días naturales que transcurren entre la fecha fijada como época y el vencimiento de cada capital
Producto de cada cuantía por sus respectivos días

Al calcular los días de esa forma hay que rectificar los números comerciales multiplicando el saldo de cuantías por los días que median entre la fecha señalada como época y la fecha de cierre (D_R). Esa rectificación se coloca en la columna de números homóloga a la columna de cuantías que haya sumado menos y se halla el saldo de números correspondiente. Los intereses se obtienen igual que en el método directo, dividiendo el saldo de números por el Divisor Fijo aunque se anotan en la columna de cuantías homóloga a la de números que ha sumado menos

Método hamburgués

Este método es el más utilizado en la práctica y presenta tres importantes novedades:

Se añade una nueva columna a la estructura utilizada para los métodos directo e indirecto que recoge los saldos parciales de cuantías
Los días se hallan entre el vencimiento de cada capital y el siguiente
Los números comerciales se obtienen multiplicando los saldos parciales de cuantías por los días

El saldo de números y los intereses correspondientes se calculan igual que en el método directo.

Cuentas corrientes a interés no recíproco

Consiste en aplicar tipos de interés distintos según se trate de saldos de números deudores o acreedores. El método más apropiado para esta clase de cuentas es el hamburgués y el ejemplo más típico de una cuenta de este tipo es la bancaria.

Cuentas corrientes de crédito

Se trata de una operación activa para el banco a través de la cual se pone a disposición de la otra parte un capital del que se va disponiendo según las necesidades. Lo habitual es que el saldo se mantenga siempre a favor del banco aunque pudiera ocurrir que en algún momento fuera a favor del cliente. En este último caso el tipo de interés es distinto y habitualmente menor que el que cobra el banco por las disposiciones de crédito.

Además de los intereses, existen una serie de comisiones y gastos a cargo del cliente:

Comisión de apertura del crédito.
Corretaje del corredor de comercio.
Comisión de disponibilidad sobre el saldo medio no dispuesto.
Comisión por excedidos del límite concedido.

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Operaciones en el mercado monetario

por Antonio Martinez en Matemática Financiera I, Matemáticas

Letras del Tesoro

Son títulos-valores de deuda pública emitidos por el Tesoro, cuyas características más relevantes son las siguientes:

Se emiten al descuento, es decir, el precio que se paga por adquirir una letra es inferior al valor nominal.
Tienen una duración de 12 ó 18 meses
El nominal de cada letra es de 1000€
Los rendimientos producidos o diferencia entre el precio de compra y el de venta no están sujetos a retención a cuenta del IRPF
Se pueden adquirir mediante subasta competitiva (el precio de compra lo fija el suscriptor) o mediante subasta no competitiva

Tipos de interés

Se obtienen en función de la duración de la letra

$Operaciones en el mercado monetario$

Tantos efectivos

La rentabilidad real que se obtiene al suscribir una letra del tesoro poco tiene que ver con los tipos publicados por el Tesoro. La realidad es que la suscripción y la posterior amortización de una letra supone pagar una serie de comisiones que hay que tener en cuenta a la hora de conocer la rentabilidad.

$Operaciones en el mercado monetario$

Pagarés de Empresa

Son títulos de crédito por lo que una empresa (normalmente una gran empresa del sector eléctrico, de transportes o de comunicaciones) se compromete a pagar una cantidad determinada en una fecha concreta.

En la actualidad las emisiones de pagarés de empresa se realizan en el mercado AIAF de Renta fija.

La rentabilidad que se obtiene con un pagaré se calcula de la misma forma que para una letra del tesoro, excepto en el hecho de considerar como base de cálculo el año civil en vez del comercial.

$Operaciones en el mercado monetario$

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Operaciones simples a corto plazo

por Antonio Martinez en Matemática Financiera I, Matemáticas

Una operación simple se caracteriza porque la prestación y la contraprestación están formadas por un solo capital.

Descuento bancario

Es una operación activa para el banco, a través de la cual se adelanta la disponibilidad de un capital por un plazo de tiempo.

Se distinguen dos tipos de descuento:

Descuento de papel comercial

Operativa

El esquema ilustrativo de una operación comercial que se documenta a través de una letra de cambio es el siguiente:

La cantidad que el banco entrega al cliente se denomina Efectivo (E) y se obtiene restando del valor nominal (N) de la letra, el descuento practicado (D) y las comisiones correspondientes (C)

$Operaciones simples a corto plazo$

Sin embargo, la cantidad que recibe el cliente (L) no es la que entrega el banco (E). La causa de esta diferencia radica en que el cliente entrega la letra al banco debidamente timbrada (T)

$Operaciones simples a corto plazo$

Tantos efectivos

Los tantos efectivos para el banco y para el cliente se obtienen a partir de la correspondiente ecuación de equivalencia financiera.

Banco:

$Operaciones simples a corto plazo$

Cliente:

$Operaciones simples a corto plazo$

El TAE según normativa del Banco de España se calcula teniendo en cuenta que:

Sólo se computan las comisiones que excedan de las mínimas tarifadas $Operaciones simples a corto plazo$
Se utiliza la capitalización compuesta
Se utiliza el año comercial de 360 días

$Operaciones simples a corto plazo$ $Operaciones simples a corto plazo$

Efectos impagados

Cuando el librado no abona la letra a su vencimiento el banco le presentará en protesto ante notario y cargará en la cuenta del librador el nominal de la letra más una serie de comisiones y gastos.

$Operaciones simples a corto plazo$

Letra de resaca

Ante el impago de una letra, el librador intentará cobrar de nuevo la deuda al librado, girándole una nueva letra por un importe que cubra la cantidad que entregó al banco $Operaciones simples a corto plazo$ más los intereses de demora (I) y más el timbre de esa nueva letra (T). Si de nuevo, se acude al descuento, habrá que calcular el nominal (N) de forma que al descontarla el librador obtenga todos esos ingresos.

$Operaciones simples a corto plazo$

Descuento financiero

Consiste en el préstamo de una cantidad a través de una letra de cambio. El banco o librador le entrega al cliente o librado el valor descontado correspondiente menos el descuento, las comisiones y el timbre. El cliente, por su parte, tendrá que devolver el nominal cuando llegue el vencimiento.

Crédito comercial

Estamos en presencia de una operación de crédito comercial cuando el vendedor de una mercancía ofrece un descuento al comprador si el pago se hace al contado.

El tanto de descuento ofrecido mide el coste que le supone al comprador no acudir al pago al contado. El tando de coste en descuento es igual al rédito (r) dividido entre la amplitud del intervalo (n días)

$Operaciones simples a corto plazo$

El tanto de coste equivalente en capitalización simple es igual a:

$Operaciones simples a corto plazo$

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Introducción al Estudio de las Rentas

por Antonio Martinez en Matemática Financiera I, Matemáticas

Concepto de Renta Financiera

Es la aplicación biyectiva que se establece entre un conjunto de capitales y un conjunto de períodos de maduración o de intervalos temporales.

El valor financiero de una renta en cualquier momento $Introducción al Estudio de las Rentas$ es un capital cuya cuantía es la suma financiera de los términos de la renta. Si $Introducción al Estudio de las Rentas$ , el valor financiero se denomina valor actual y si $Introducción al Estudio de las Rentas$ , el valor financiero se denomina valor final.

Clasificación de Renta Financiera

Existen distintas clases de rentas en función del criterio que se utiliza:

CRITERIO	CLASES	CARACTERÍSTICAS
Cuantías de los capitales	Constante	Todas las cuantías son iguales.
	Variables	Las cuantías son distintas
Duración de la renta	Temporales	La duración es finita
	Perpetuas	La duración es perpetua
Amplitud de los períodos de maduración	Discretas	Los periodos de maduración son finitos
	Continuas	Los periodos de maduración son infinitesimales
Vencimiento de los términos	Pospagable	Los términos vencen en el extremo superior de cada período de maduración
	Prepagable	Los términos vencen en el extremo inferior de cada período de maduración.
Momento de Valoración	Inmediatas	El momento de valoración esta situado entre el origen y final de la renta.
	Diferidas	El momento de valoración esta situado antes del origen de la renta.
	Anticipadas	El momento de valoración esta situado después del final de la renta.

Propiedades de las Rentas

El valor capital es linealmente proporcional a las cuantías

Si $Introducción al Estudio de las Rentas$

Esta propiedad se aplica cuando se valoran rentas variables en progresión aritmética.

Aditividad respecto al tiempo

El valor capital de una renta se puede obtener como suma de los valores capitales de los tramos en los que convenga descomponer el intervalo temporal.

Esta propiedad se aplica cuando la renta se valora con más de un tanto o cuando la renta tiene tramos con cuantías que siguen reglas distintas de formación.

Condensación de una renta por otra equivalente con menor número de términos

Se aplica cuando los términos tienen unos períodos de maduración de amplitud menor que el año y se desea operar con una periodicidad anual.

Valoración de las rentas y rentas equivalentes

Normalmente se calcula el valor actual y el valor final de la renta, a través de la suma financiera en $Introducción al Estudio de las Rentas$ y $Introducción al Estudio de las Rentas$ , respectivamente, de los términos de la renta.

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Leyes de Descuento

por Antonio Martinez en Matemática Financiera I, Matemáticas

Descuento Comercial

Expresión matemática:

$Leyes de Descuento$

El parámetro "d" es el tanto o decremento por unidad de cuantía y unidad de tiempo y la diferencia "t-p" mide el tiempo durante el cual se descuenta la unidad monetaria.

Dado que se trata de una ley estacionaria, podemos escribir el descuento comercial de otra forma, expresando el intercalo de descuento como $Leyes de Descuento$ (tiempo interno de la operación.)

$Leyes de Descuento$

Al ser negativa la pendiente de la recta que representa el descuento comercial, hay un punto de corte (1/d) con el eje de abscisas que indica el extremo superior del campo de validez que tiene este tipo de ley.

Valor descontado y Descuento

El valor descontado es el resultado de descontar hasta el extremo inferior del intervalo el capital que vence en el extremo superior.

$Leyes de Descuento$

El descuento es el decremento que experimenta el capital que vence en el extremo superior del intervalo por adelantar su disponibilidad hasta el extremo inferior.

$Leyes de Descuento$

Magnitudes derivadas

Todas las magnitudes derivadas dependen del parámetro p, a excepción de las acumuladas. En concreto, el tanto y el tanto instantáneo acumulado son iguales al parámetro "d"

Tantos equivalentes

Lo habitual es que el parámetro "d" sea el tanto anual de descuento. Su la unidad de medida del tiempo cambia, hay que dividir "d" entre el número de veces que se fracciona el año.

$Leyes de Descuento$

Relación entre los parámetros "d" e "i"

Aunque ambos son tantos, no tienen el mismo significado. Si así fuera, al descontar una unidad monetaria y luego capitalizar el valor descontado obtenido habría que obtener la unidad monetaria de partida, y eso evidentemente no ocurre.

Para que los parámetros "d" e "i" tengan el mismo significado hay que exigir que en la operación anterior el resultado sea la unidad monetaria de partida.

Descuento racional

Expresión matemática

$Leyes de Descuento$

Esta ley es la inversa de la ley de capitalización donde el parámetro "i" es el tanto o decremento por unidad de cuantía y unidad de tiempo y la diferencia "t-p" mide el tiempo durante el cual se descuenta la unidad monetaria.

Dado que se trata de una ley estacionaria, podemos escribir el descuento comercial de otra forma, expresando el intervalo de descuento como $Leyes de Descuento$ (tiempo interno de la operación.)

$Leyes de Descuento$

Valor descontado y Descuento

El valor descontado es el resultado de descontar hasta el extremo inferior del intervalo el capital que vence en el extremo superior.

$Leyes de Descuento$

El descuento es el decremento que experimenta el capital que vence en el extremo superior del intervalo por adelantar su disponibilidad hasta el extremo inferior.

$Leyes de Descuento$

Relación entre la ley de capitalización simple y la ley de descuento racional.

Al ser la inversa una de la otra y utilizar ambas el mismo parámetro, la capitalización del valor descontado es igual a la unidad monetaria de partida.

Descuento compuesto

Expresión matemática

$Leyes de Descuento$ ,

o en su forma estacionaria:

$Leyes de Descuento$

El parámetro "i" es el tanto anual de capitalización o incremento por unidad de cuantía y unidad de tiempo, el parámetro "d" es el tanto anual de descuento o decremento por unidad de cuantía y unidad de tiempo, el parámetro "k" es el tanto instantáneo y la diferencia "t-p" mide el tiempo durante el cual se descuenta la unidad monetaria. La relación que existe entre los tres parámetros es la siguiente:

$Leyes de Descuento$

Valor descontado y Descuento

El valor descontado es el resultado de descontar hasta el extremo inferior del intervalo el capital que vence en el extremo superior.

$Leyes de Descuento$

El Descuento es el decremento que experimenta el capital que vence en el extremo superior del intervalo por adelantar su disponibilidad hasta el extremo inferior.

$Leyes de Descuento$

Magnitudes derivadas

No depender del parámetro "p", a excepción de las acumuladas.

Tantos equivalentes

Lo habitual es que el parámetro "d" sea el tanto anual de descuento. Si la unidad de medida del tiempo cambia, la relación entre el tipo de descuento para esa fracción del año y el tanto anual se obtendrá a partir de la siguiente ecuación:

$Leyes de Descuento$

Comparación entre las leyes de descuento racional, descuento comercial y descuento compuesto

$Leyes de Descuento$

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Leyes de capitalización

por Antonio Martinez en Matemática Financiera I, Matemáticas

Capitalización simple

Expresión matemática

$Leyes de capitalización$

El parámetro "i" es el tanto o incremento por unidad de cuantía y unidad de tiempo y (t-p) mide el tiempo durante el cual se capitaliza la unidad monetaria.

Dado que se trata de una ley estacionaria, podemos escribir la capitalización simple de otra forma, expresando el intervalo de capitalización como $Leyes de capitalización$ (tiempo interno de la operación.

$Leyes de capitalización$

Magnitudes derivadas

Todas las magnitudes derivadas dependen del parámetro p, a excepción de las acumuladas. En concreto, el tanto y el tanto instantáneo acumulado son iguales al parámetro "i"

Montante e interés

El montante es el resultado de capitalizar hasta el extremo superior del intervalo el capital que vence en el extremo inferior del intervalo.

El interés es el incremento que experimenta el capital que vence en el extremo inferior del intervalo por diferir su disponibilidad hasta el extremo superior.

$Leyes de capitalización$ $Leyes de capitalización$

Tantos equivalentes

Lo habitual es que el parámetro "i" sea el tanto anual.

Si la unidad de medida del tiempo cambia, hay que dividir "i" entre el número de veces que se fracciona el año.

$Leyes de capitalización$

Capitalización compuesta

Expresión matemática

$Leyes de capitalización$

El parámetro "i" es el tanto o incremento por unidad de cuantía y unidad de tiempo, la diferencia "p-t" mide el tiempo durante el cual se capitaliza la unidad monetaria y el parámetro k es el tanto instantáneo de capitalización.

Dado que se trata de una ley estacionaria, podemos escribir la capitalización compuesta de otra forma, expresando el intervalo de capitalización como $Leyes de capitalización$ (tiempo interno de la operación)

$Leyes de capitalización$

Magnitudes derivadas

No dependen del parámetro p, a excepción de las magnitudes acumuladas.

Montante e interés

El montante es el resultado de capitalizar hasta el extremo superior del intervalo el capital que vence en el extremo inferior del intervalo.

$Leyes de capitalización$

El interés es el incremento que experimenta el capital que vence en el extremo inferior del intervalo por diferir su disponibilidad hasta el extremo superior.

$Leyes de capitalización$

Tantos equivalentes

Al igual que ocurría en la capitalización simple, el parámetro "i" de la ley de capitalización compuesta es habitualmente el tanto anual. Si se cambia la unidad medida de tiempo, el rédito correspondiente a esa fracción del año se obtendrá a partir de la siguiente relación:

$Leyes de capitalización$

El tanto nominal es otra medida de los tipos de interés en la capitalización compuesta.

Se trata de la proyección aritmética anual del correspondiente rédito $Leyes de capitalización$

Comparación entre la capitalización simple y la compuesta (para un mismo valor del parámetro i)

$Leyes de capitalización$

El convenio lineal y el convenio exponencial

Cuando la amplitud del intervalo comprende un periodo de años y una parte fraccionada se pueden acordar por las partes varias soluciones para calcular el montante correspondiente:

Aplicar la capitalización simple a todo el intervalo
$Leyes de capitalización$
Aplicar la capitalización compuesta a todo el intervalo (convenio exponencial)
$Leyes de capitalización$
Aplicar la capitalización compuesta al periodo entero de año y la capitalización simple al periodo fraccionado (convenio lineal)
$Leyes de capitalización$

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Leyes Financieras Generales

por Antonio Martinez en Matemática Financiera I, Matemáticas

Las leyes financieras pueden agruparse en subconjuntos tales que cada uno contenga aquellas leyes con alguna propiedad característica común. Los subconjuntos más importantes se describen a continuación:

Leyes Estacionarias

Definición: Son leyes que no varían ante cualquier desplazamiento que se produzca en la variable tiempo. Para una ley de capitalización esta condición se expresa así:
$Leyes Financieras Generales$
Lo anterior significa que estas leyes no tienen en cuenta la época del tiempo en la que se esta operando ; sólo cuenta el tiempo interno que hay entre r y p.

Expresión matemática: Las leyes estacionarias se pueden escribir en función de la variable $Leyes Financieras Generales$ denominada tiempo interno, por lo que se anota abreviadamente como $Leyes Financieras Generales$

Leyes Sumativas

Definición: Una ley de capitalización $Leyes Financieras Generales$ es sumativa si, para dos intervalos consecutivos cualesquiera $Leyes Financieras Generales$ y $Leyes Financieras Generales$ con $Leyes Financieras Generales$ , verifica que los intereses de t a s con punto de valoración es s más los intereses de s a p son iguales a los intereses del intervalo total $Leyes Financieras Generales$ con punto de comparación en p.

Es decir: $Leyes Financieras Generales$

Por lo tanto, en estas leyes sumativas, los intereses correspondientes a intervalos parciales no se acumulan al principal para producir nuevos intereses.

Expresión matemática: Las leyes sumativas tienen la forma:

$Leyes Financieras Generales$

La función $Leyes Financieras Generales$ ha de ser creciente para que $Leyes Financieras Generales$

Leyes Multiplicativas

Definición: Una ley financiera de capitalización es multiplicativa cuando se verifica que:

$Leyes Financieras Generales$ , siendo $Leyes Financieras Generales$

Expresión matemática: Las leyes multiplicativas tienen la forma:

$Leyes Financieras Generales$ , función exponencial de variables separadas en el exponente.

Leyes Unificables

Definición: una ley de capitalización es unificable cuando para cualquiera capitales sumandos: $Leyes Financieras Generales$ , es posible encontrar al menos un capital suma financiera $Leyes Financieras Generales$ que sea independiente del punto p de valoración.

Debe verificarse, por tanto:

$Leyes Financieras Generales$

siendo $Leyes Financieras Generales$ el factor financiero y $Leyes Financieras Generales$ la cuantía equivalente en $Leyes Financieras Generales$ a la $Leyes Financieras Generales$ en $Leyes Financieras Generales$

El capital $Leyes Financieras Generales$ recibir el nombre de capital unificado y el $Leyes Financieras Generales$ el de vencimiento común.

Expresión matemática: Estas leyes tienen la forma:

$Leyes Financieras Generales$ , debiendo ser las funciones $Leyes Financieras Generales$ y $Leyes Financieras Generales$ tales que se verifique que: $Leyes Financieras Generales$

Producto financiero de leyes

Dadas las leyes de capitalización $Leyes Financieras Generales$ y $Leyes Financieras Generales$ con puntos de aplicación en $Leyes Financieras Generales$ y $Leyes Financieras Generales$ respectivamente, siendo $Leyes Financieras Generales$ , se denomina producto financiero a la aplicación sucesiva de ambas leyes, lo cual da lugar a la aparición de una nueva ley $Leyes Financieras Generales$ definida por:

$Leyes Financieras Generales$

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Magnitudes Derivadas

por Antonio Martinez en Matemática Financiera I, Matemáticas

La cuantía y el vencimiento son las magnitudes primarias y fundamentales. A partir de ellas se obtienen las magnitudes derivadas.

Factor Financiero

De la misma forma que la ley financiera sirve para obtener el equivalente en p de un capital, el factor financiero nos permite obtener el equivalente en otro momento distinto de p.

Cada factor financiero va asociado al intervalo $Magnitudes Derivadas$ en el que se aplica y es el número por el que hay que multiplicar la cuantía que vence en un extremo del intervalo para obtener la cuantía equivalente en el otro extremo.

Factor de capitalización

Dos capitales son equivalente si tienen el mismo sustituto en p:

$Magnitudes Derivadas$ $Magnitudes Derivadas$

donde $Magnitudes Derivadas$ es el factor de capitalización. Por lo tanto, nos permite obtener $Magnitudes Derivadas$ a partir de $Magnitudes Derivadas$

$Magnitudes Derivadas$

Factor de descuento

Dada la ley $Magnitudes Derivadas$ de descuento, dos capitales son equivalentes si se verifica:

$Magnitudes Derivadas$ $Magnitudes Derivadas$ $Magnitudes Derivadas$

donde $Magnitudes Derivadas$ es el factor de descuento, que nos permite obtener $Magnitudes Derivadas$ a partir de $Magnitudes Derivadas$ .

Réditos, Intereses y Descuento

El rédito es el complemento a la unidad, en valor absoluto, del correspondiente factor.

Réditos en capitalización

De acuerdo con la definición anterior, y llamando $Magnitudes Derivadas$ al rédito de capitalización, tenemos que:

$Magnitudes Derivadas$

Interés

El interés ordinario o pospagable mide el incremento que experimenta la cuantía de un capital disponible en t al diferir su disponibilidad hasta $Magnitudes Derivadas$

El interés es un capital que se representa por $Magnitudes Derivadas$ y cuya cuantía se obtiene: $Magnitudes Derivadas$ siendo C la cuantía del capital disponible en $Magnitudes Derivadas$

La suma $Magnitudes Derivadas$ se denomina montante.

Réditos en descuento

De acuerdo con la definición de rédito, y llamando $Magnitudes Derivadas$ , tenemos que:

$Magnitudes Derivadas$

Descuento

El descuento ordinario mide la disminución que experimenta la cuantía de el capital disponible en $Magnitudes Derivadas$ al anticiparse su disponibilidad a $Magnitudes Derivadas$

El descuento es un capital que se representa por $Magnitudes Derivadas$ siendo:

$Magnitudes Derivadas$

donde C es la cuantía del capital disponible en $Magnitudes Derivadas$

La diferencia $Magnitudes Derivadas$ se denomina valor descontado (o valor actual si se descuenta a fecha de hoy.)

Tanto

El tanto es el resultado de dividir el rédito entre la amplitud del intervalo. Es el rédito por unidad de tiempo.

Tantos en capitalización

El tanto de capitalización se obtiene, de acuerdo con la definición:

$Magnitudes Derivadas$

Tantos en descuento

El tanto de descuento, de acuerdo con la definición anterior, será:

$Magnitudes Derivadas$

Tanto instantáneo

Es el límite del tanto cuando la amplitud del intervalo tiende a cero, y mide la variación experimentada por unidad en cada instante de tiempo. Depende de t y de p.

En capitalización, el tanto instantáneo se expresa:

$Magnitudes Derivadas$

y en descuento:

$Magnitudes Derivadas$

Matemática Financiera Uned

Bases para la valoración financiera

por Antonio Martinez en Matemática Financiera I, Matemáticas

Capital Financiero

Es la medida de cualquier activo, real o financiero, expresada por su cuantía y por su vencimiento o momento de disponibilidad. A partir de esta definición, todo capital financiero queda expresado por una cuantía (C) y por un vencimiento (v)

El tiempo como bien económico de sentido negativo

La variable tiempo juega un papel esencial en la valoración de los capitales financieros, ya que, tal como señala el principio de subestimación de las necesidades futuras, a igualdad de cuantías se prefieren los capitales presentes a los futuros.

Leyes financieras

Es la expresión matemática del criterio de sustitución de los capitales financieros.

$Bases para la valoración financiera$

La cuantía ( V ) se obtiene a partir de la aplicación de la expresión como ley financiera y depende de la cuantía ( C ), del vencimiento ( t ) y del momento de comparación (p ).

$Bases para la valoración financiera$

Precisamente la función ( F ) que relaciona estas tres variables es los que se conoce como ley financiera.

Se distingue entre leyes financieras de capitalización $Bases para la valoración financiera$ si el momento p se sitúa a la derecha del vencimiento del capital.

Y leyes financieras de descuento $Bases para la valoración financiera$ si el momento p está situado a la izquierda de t.

En la práctica se va a operar con leyes financieras de tipo estacionario en las que sólo se tiene en cuenta el tiempo interno de la operación ( t ) y que se mide por la diferencia entre el vencimiento del capital y el momento de comparación.

Propiedades de las leyes financieras

Positiva

La función F ha de ser positiva, puesto que se utiliza para obtener una cuantía V, que tiene que ser positiva.

$Bases para la valoración financiera$

La función ha de ser homogénea de grado uno respecto a C

Esta propiedad supone que la equivalencia de capitales ha de mantenerse aunque cambien las unidades de medida con las que se está operando y, en consecuencia, que la cuantía V ha de ser linealmente proporcional a C:

$Bases para la valoración financiera$

Una consecuencia de esta propiedad es que podemos operar con leyes unitarias, que nos dan el equivalente en p de una unidad monetaria, con lo que el criterio de sustitución se puede escribir de la siguiente forma:

$Bases para la valoración financiera$

Propiedad reflexiva de la equivalencia de capitales

Cuando t y p coinciden, cualquier capital ha de tener como equivalente a sí mismo.

$Bases para la valoración financiera$

Principio de subestimación de los capitales futuros respecto a los iguales de igual cuantía

Para que se verifique esta propiedad, la función $Bases para la valoración financiera$ ha de ser creciente respecto a p y decreciente respecto a t:

$Bases para la valoración financiera$

Continuidad respecto a t y a p

La función F nos tiene que permitir hallar el sustituto en p de un capital con vencimiento en t, para lo cual es necesario que no existan discontinuidades.

Suma financiera de capitales

Para sumar capitales financieros no hay que sumar aritméticamente las cuantías. La suma financiera de capitales implica calcular los valores de los capitales sumandos y del capital suma en el momento que se acuerde. En concreto, un capital es suma financiera de otros, cuando el valor de aquel en un momento p es igual a la suma de los valores de los capitales sumandos en ese momento p.

Si se utiliza la capitalización simple, la suma financiera se puede plantear de la siguiente forma:

$Bases para la valoración financiera$

En esta ocasión hay dos incógnitas: $Bases para la valoración financiera$ y $Bases para la valoración financiera$ . La forma de resolverla es fijar arbitrariamente una de las variables y calcular la otra.

Matemática Financiera Uned

Integración por Partes

por Antonio Martinez en Matemáticas, Matemáticas II

La integración por partes es una técnica de integración que tiene por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulta más sencillo.

Hay formas mnemotécnias como “Solo Un Día Vi Un Viejo Soldado Vestido De Uniforme”, sin embargo es más práctico conocer el origen matemático de esta fórmula para comprenderla mejor:

Su fórmula parte de la derivada del producto de dos funciones:

$Integración por Partes$

El éxito de esta técnica estriba en seleccionar apropiadamente u y dv en la integral dada, porque se trata de ir simplificando la integral hasta dar con el resultado final. Para ello, es bueno conocer la regla de los ALPES, la cuál nos identifica el orden de prioridad para elegir la función u con respecto a dv, esto es:

A > Arcsen y Arccos
L > Logaritmos
P > Polinomios
E > Exponenciales
S > Seno y Coseno

Ejemplo:

$Integración por Partes$ $Integración por Partes$

Matemáticas Uned

Limite de funciones de dos variables

por Antonio Martinez en Matemáticas, Matemáticas II

Límite doble

El número $Limite de funciones de dos variables$ es el límite de la función $Limite de funciones de dos variables$ cuando $Limite de funciones de dos variables$ tiende a $Limite de funciones de dos variables$ si, prefijado cualquier número positivo $Limite de funciones de dos variables$ , existe un número $Limite de funciones de dos variables$ de manera que en todo punto $Limite de funciones de dos variables$ del dominio de la función perteneciente al entorno reducido $Limite de funciones de dos variables$ , la función tome un valor $Limite de funciones de dos variables$ que pertenezca al entorno $Limite de funciones de dos variables$

$Limite de funciones de dos variables$

Observaciones:

El punto $Limite de funciones de dos variables$ debe ser de acumulación del dominio para poder calcular los valores de la función en puntos tan próximos a $Limite de funciones de dos variables$ como se quiera.
La expresión $Limite de funciones de dos variables$ es equivalente a escribir: $Limite de funciones de dos variables$

Propiedades:

Si existe $Limite de funciones de dos variables$ , éste debe ser único. (Unicidad del límite)
si $Limite de funciones de dos variables$ , entonces en algún entorno del punto $Limite de funciones de dos variables$ la función f está acotada.
Si $Limite de funciones de dos variables$ y $Limite de funciones de dos variables$ , entonces:

$Limite de funciones de dos variables$
$Limite de funciones de dos variables$
$Limite de funciones de dos variables$ , si $Limite de funciones de dos variables$
$Limite de funciones de dos variables$
Si $Limite de funciones de dos variables$ , entonces, en algún entorno reducido del punto $Limite de funciones de dos variables$ la función conserva el mismo signo que el límite L.
Si $Limite de funciones de dos variables$ , entonces, la función puede expresarse como suma de su límite más un infinitésimo en el punto, o sea $Limite de funciones de dos variables$ con $Limite de funciones de dos variables$

Límite infinito:

$Limite de funciones de dos variables$

Límites sucesivos o reiterados:

Supongamos que para calcular $Limite de funciones de dos variables$ , fijamos la variable $Limite de funciones de dos variables$ y hacemos tender $Limite de funciones de dos variables$ a $Limite de funciones de dos variables$ ; si éste límite existe, obviamente dependerá del valor que hayamos fijado de $Limite de funciones de dos variables$ , es decir, que será una función $Limite de funciones de dos variables$ . El límite de dicha función para $Limite de funciones de dos variables$ tendiendo a $Limite de funciones de dos variables$ se denomina límite sucesivo o reiterado:

$Limite de funciones de dos variables$

Hagamos notar que para que exista $Limite de funciones de dos variables$ , debe existir la función $Limite de funciones de dos variables$ en un entorno reducido del punto $Limite de funciones de dos variables$ sobre la recta de ecuación $Limite de funciones de dos variables$

Matemáticas Uned

Optimización de funciones

por Antonio Martinez en Matemáticas, Matemáticas II

Optimización sin restricciones

Procedimiento para encontrar los valores extremos de una función objetivo con dos variables de elección.

Extremos absolutos:

Sea $Optimización de funciones$ una función continua con dos variables, definida en un conjunto D cerrado y acotado del plano OXY,

Existe al menos un punto $Optimización de funciones$ en D donde f alcanza un máximo absoluto, cumpliéndose que:
$Optimización de funciones$
Existe al menos un punto $Optimización de funciones$ en D donde f alcanza un mínimo absoluto, cumpliéndose que:
$Optimización de funciones$

Extremos relativos:

Sea $Optimización de funciones$ una función continua de dos variables, definida en un conjunto D que contiene al punto $Optimización de funciones$

La función f tiene un máximo relativo en el punto $Optimización de funciones$ si $Optimización de funciones$
La función f tiene un mínimo relativo en el punto $Optimización de funciones$ si latex f(x_0,y_0)\leq f(x,y)$

siendo $Optimización de funciones$ los que están en el entorno que contiene a $Optimización de funciones$

Condición necesaria o de primer orden:

Dada la función $Optimización de funciones$ la condición necesaria de primer orden para obtener un extremo exige que:

$Optimización de funciones$

dado que:

$Optimización de funciones$

entonces:

$Optimización de funciones$ para valores arbitrarios de dx y dy ambos no nulos.

La condición de primer orden es condición necesaria, pero no suficiente.

Condición suficiente o de segundo orden:

Para la existencia de un máximo o mínimo relativo requiere que $Optimización de funciones$

Si $Optimización de funciones$ tendremos un máximo relativo.
Si $Optimización de funciones$ tendremos un mínimo relativo.

para valores arbitrarios de dx y dy, ambos no nulos.

Procedimiento práctico para la obtención de extremos:

Obtener las derivadas parciales primeras.
Igualar a 0 las derivadas parciales primeras, y resolver el sistema, hallando así los puntos críticos de la función.
Hallar las derivadas parciales segundas, para así obtener el determinante Hessiano.
Particularizamos el Hessiano para cada uno de los puntos.
- Si $Optimización de funciones$ Existe extremo.
- Si $Optimización de funciones$ Caso indeterminado.
- Si $Optimización de funciones$ Punto de Silla.
Cuando el Hessiano sea mayor de cero, es decir, el punto analizado sea extremo, observamos el signo de la segunda derivada de z con respecto a x:
- Si $Optimización de funciones$ Existe un máximo en $Optimización de funciones$
- Si $Optimización de funciones$ Existe un mínimo en $Optimización de funciones$
Cada valor extremo obtenido, se sustituye en la función $Optimización de funciones$ dada. Así obtenemos el valor de la coordenada z en el extremo.

Extremos relativos de funciones implícitas

Optimización con restricciones de igualdad

Optimizar la función objetivo $Optimización de funciones$ de n variables en la existen m restricciones (m<n)

$Optimización de funciones$ siendo $Optimización de funciones$ valores constantes.

Método de sustitución

Si…

…la función objetivo $Optimización de funciones$ y las restricciones $Optimización de funciones$ admiten derivadas parciales primeras en el dominio $Optimización de funciones$ en el que están definidas.
…las restricciones $Optimización de funciones$ son independientes.

entonces, el sistema formado por las m ecuaciones de restricción nos permiten exponer m de las n variables en función de las m-n restantes:

$Optimización de funciones$

lo equivale a optimizar:

$Optimización de funciones$ , donde $Optimización de funciones$

Método de multiplicadores de Lagrange

Dada la función $Optimización de funciones$ con la restricción $Optimización de funciones$ , donde b es una constante, al diferenciar la función objetivo y la restricción se tiene que:

$Optimización de funciones$

entonces:

El símbolo $Optimización de funciones$ es un número aún indeterminado y se llama multiplicador de Lagrange.

En los puntos en que la función tenga un extremo $Optimización de funciones$ , entonces obtenemos $Optimización de funciones$ resolviendo el siguiente sistema:

Función de Lagrange o lagrangiana

$Optimización de funciones$

Condición necesaria para obtener extremos relativos

Condición suficiente de óptimo a través del hessiano orlado

Si llamamos Hessiano Orlado a:

$Optimización de funciones$

Existirá un máximo si es mayor que cero y un mínimo se es menor que cero.

Condición suficiente de óptimo a través del estudio de la forma cuadrática de la segunda derivada de la función lagrangiana

Si su forma cuadrática es:

Positiva: Mínimo relativo
Negativa: Máximo relativo
Indefinida: Ni máximo, ni mínimo
Semidefinida: Caso dudoso

Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores de Lagrange equivalen a las derivadas parciales, y en economía se utilizan para valorar el término marginal. Por ello, los multiplicadores de Lagrange pueden interpretarse como cambios marginales (rentabilidad marginal, precio sombra, utilidad marginal, coste marginal …)

economía Matemáticas Uned

Exámenes Resueltos de Matemáticas II

por Antonio Martinez en Exámenes Resueltos, Matemáticas II

Matemáticas Uned

Herramientas online de matemáticas

por Antonio Martinez en Matemáticas II

Para calcular límites:

Para calcular derivadas (paso a paso explicadas):

La diferencia que he visto entre la versión en español y la de inglés es que en la de español no hace directamente las derivadas segundas mixtas.

Para calcular integrales:

Editor online de ecuaciones Latex

http://www.codecogs.com/components/equationeditor/equationeditor.php

Matemáticas Uned

Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

por Antonio Martinez en Matemáticas, Matemáticas II

Derivadas parciales

Las derivadas parciales de la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ en $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ se define:

Con respecto a x, es el número:
$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , sí existe el límite.
Con respecto a y, es el número:
$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , sí existe el límite.

De manera análoga, las funciones derivadas parciales son: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

, que ponen de manifiesto, que para obtener la función derivada parcial, con respecto a x (p.ej.) basta derivar con respecto a x, considerando a y (o a las restantes variables, si las hubiese) como si fueran constantes.

Hay que distinguir las formas de notar las funciones derivadas:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Derivadas parciales segundas

Al igual que en las funciones de una variables, la derivada de la función derivada era la derivada segunda (y así sucesivamente), en las funciones de varias variables, se obtiene las derivadas segundas.

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

o sea, la derivada con respecto a x, de la derivada con respecto a x, es la derivada segunda, con respecto a x dos veces.

Se escribe, también: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ ó $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Al igual,

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

que también se escribe: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ ó $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Las derivadas mixtas o cruzadas son:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Teorema de Schwarz

Si la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ admite las derivadas $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ ,en un entorno del punto $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ siendo $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ continua en dicho punto, existe también $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ en el mismo punto y se verifica que: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Derivada direccional y gradiente de una función

La derivada direccional de $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ en $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , en la dirección del vector unitario $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ se representa por: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ y vale:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

El vector: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ recibe el nombre de gradiente $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ en $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Más en wikipedia…

Determinante Jacobiano

Dadas n funcinoes de las n variables $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

se llama Jacobiano de las n funciones al determinante funcional.

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Determinante Hessiano

Se llama determinante Hessiano de la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ al jacobiano de sus derivadas primeras, o sea $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

en particular, para $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ :

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

y para $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Regla de la Cadena

La derivada respecto de x de una función que depende de ella por intermedio de otras variables, cada una de las cuales es función de la siguiente, es el producto de las derivadas de cada una de estas funciones, respecto de la variable de que depende inmediatemente. Así, su $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , o en esquema $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Diferencial total

El diferencial total es una aproximación lineal a la variación de la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ motivada por una pequeña variación en ambas variables $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Funciones implícitas

Dada la función implícita $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , no siempre existe la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , que explícita la $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Teorema de existencia: Sea R una región del plano en la cual está definida la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ y sea $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ un punto de dicha región. Si se verifican:

a) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

b) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ son continuas en R

c) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ no se anula en $\partial (x_0,y_0)$

,entonces existe un entorno de $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , en el cual existe $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ y se cumplen:

a) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

b) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

c) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Derivación de funciones implícitas:

Para la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , el esquema sería:

Por tanto:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Para la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , donde z es función implícita de las variables independientes x e y, el esquema sería:

Por tanto,

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

en donde se obtienen:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Funciones homogéneas

Una función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ se dice es homogénea de grado m, cuando si en lugar de $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ se escribe: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , se cumple $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

m recibe el nombre de grado de homogeneidad.

Teorema de Euler

Si la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ es homogénea de grado m, verifica el teorema de Euler:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Recíprocamente, si una función verifica el teorema de Euler, es homogénea.

Matemáticas Uned

Integrales

por Antonio Martinez en Matemáticas II

Integral Indefinida. Conceptos básicos.

Si para todos los puntos de un intervalo [a,b] se verifica F’(x)=f(x), entonces F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x) sobre ese intervalo.

Al proceso de recuperar una función F(x) a partir de su derivada f(x) se llama antiderivación.

Cualesquiera dos primitivas de una misma función difieren en una constante arbitraria k.

El conjunto de todas las primitivas de una función es la Integral Indefinida de esa función con respecto a x, denotada mediante:
$Integrales$
El simbolo $Integrales$ es un signo de integral. La función f es el integrando de la integral, y x es la variable de integración.

Ejemplo:

$Integrales$

Integral Definida

Sea f(x) una función definida de un intervalo cerrado [a,b]. Decimos que un número I es la integral definida de f en [a,b], y que $Integrales$ es el límite de las sumas de Riemman $Integrales$ si se satisface la siguiente condición:

Dado que cualquier número $Integrales$ existe un número correspondiente $Integrales$ tal que para toda partición $Integrales$ de [a,b] con $Integrales$ y cualquier elección de $Integrales$ , tenemos que:
$Integrales$

La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b] es el límite cuando cualquier partición P tiende a cero de las sumas de Riemann.
$Integrales$

Integral Impropia

Si existe el límite finito $Integrales$ , este límite se denomina Integral Impropia de la función f(x) en el intervalo $Integrales$ y se designa por $Integrales$

Si el límite es finito se dice que la integral impropia converge, en caso contrario se dice que diverge.