Matemáticas II

Integración por Partes

por Antonio Martinez en Matemáticas, Matemáticas II

La integración por partes es una técnica de integración que tiene por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulta más sencillo.

Hay formas mnemotécnias como “Solo Un Día Vi Un Viejo Soldado Vestido De Uniforme”, sin embargo es más práctico conocer el origen matemático de esta fórmula para comprenderla mejor:

Su fórmula parte de la derivada del producto de dos funciones:

$Integración por Partes$

El éxito de esta técnica estriba en seleccionar apropiadamente u y dv en la integral dada, porque se trata de ir simplificando la integral hasta dar con el resultado final. Para ello, es bueno conocer la regla de los ALPES, la cuál nos identifica el orden de prioridad para elegir la función u con respecto a dv, esto es:

A > Arcsen y Arccos
L > Logaritmos
P > Polinomios
E > Exponenciales
S > Seno y Coseno

Ejemplo:

$Integración por Partes$ $Integración por Partes$

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Limite de funciones de dos variables

por Antonio Martinez en Matemáticas, Matemáticas II

Límite doble

El número $Limite de funciones de dos variables$ es el límite de la función $Limite de funciones de dos variables$ cuando $Limite de funciones de dos variables$ tiende a $Limite de funciones de dos variables$ si, prefijado cualquier número positivo $Limite de funciones de dos variables$ , existe un número $Limite de funciones de dos variables$ de manera que en todo punto $Limite de funciones de dos variables$ del dominio de la función perteneciente al entorno reducido $Limite de funciones de dos variables$ , la función tome un valor $Limite de funciones de dos variables$ que pertenezca al entorno $Limite de funciones de dos variables$

$Limite de funciones de dos variables$

Observaciones:

El punto $Limite de funciones de dos variables$ debe ser de acumulación del dominio para poder calcular los valores de la función en puntos tan próximos a $Limite de funciones de dos variables$ como se quiera.
La expresión $Limite de funciones de dos variables$ es equivalente a escribir: $Limite de funciones de dos variables$

Propiedades:

Si existe $Limite de funciones de dos variables$ , éste debe ser único. (Unicidad del límite)
si $Limite de funciones de dos variables$ , entonces en algún entorno del punto $Limite de funciones de dos variables$ la función f está acotada.
Si $Limite de funciones de dos variables$ y $Limite de funciones de dos variables$ , entonces:

$Limite de funciones de dos variables$
$Limite de funciones de dos variables$
$Limite de funciones de dos variables$ , si $Limite de funciones de dos variables$
$Limite de funciones de dos variables$
Si $Limite de funciones de dos variables$ , entonces, en algún entorno reducido del punto $Limite de funciones de dos variables$ la función conserva el mismo signo que el límite L.
Si $Limite de funciones de dos variables$ , entonces, la función puede expresarse como suma de su límite más un infinitésimo en el punto, o sea $Limite de funciones de dos variables$ con $Limite de funciones de dos variables$

Límite infinito:

$Limite de funciones de dos variables$

Límites sucesivos o reiterados:

Supongamos que para calcular $Limite de funciones de dos variables$ , fijamos la variable $Limite de funciones de dos variables$ y hacemos tender $Limite de funciones de dos variables$ a $Limite de funciones de dos variables$ ; si éste límite existe, obviamente dependerá del valor que hayamos fijado de $Limite de funciones de dos variables$ , es decir, que será una función $Limite de funciones de dos variables$ . El límite de dicha función para $Limite de funciones de dos variables$ tendiendo a $Limite de funciones de dos variables$ se denomina límite sucesivo o reiterado:

$Limite de funciones de dos variables$

Hagamos notar que para que exista $Limite de funciones de dos variables$ , debe existir la función $Limite de funciones de dos variables$ en un entorno reducido del punto $Limite de funciones de dos variables$ sobre la recta de ecuación $Limite de funciones de dos variables$

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Optimización de funciones

por Antonio Martinez en Matemáticas, Matemáticas II

Optimización sin restricciones

Procedimiento para encontrar los valores extremos de una función objetivo con dos variables de elección.

Extremos absolutos:

Sea $Optimización de funciones$ una función continua con dos variables, definida en un conjunto D cerrado y acotado del plano OXY,

Existe al menos un punto $Optimización de funciones$ en D donde f alcanza un máximo absoluto, cumpliéndose que:
$Optimización de funciones$
Existe al menos un punto $Optimización de funciones$ en D donde f alcanza un mínimo absoluto, cumpliéndose que:
$Optimización de funciones$

Extremos relativos:

Sea $Optimización de funciones$ una función continua de dos variables, definida en un conjunto D que contiene al punto $Optimización de funciones$

La función f tiene un máximo relativo en el punto $Optimización de funciones$ si $Optimización de funciones$
La función f tiene un mínimo relativo en el punto $Optimización de funciones$ si latex f(x_0,y_0)\leq f(x,y)$

siendo $Optimización de funciones$ los que están en el entorno que contiene a $Optimización de funciones$

Condición necesaria o de primer orden:

Dada la función $Optimización de funciones$ la condición necesaria de primer orden para obtener un extremo exige que:

$Optimización de funciones$

dado que:

$Optimización de funciones$

entonces:

$Optimización de funciones$ para valores arbitrarios de dx y dy ambos no nulos.

La condición de primer orden es condición necesaria, pero no suficiente.

Condición suficiente o de segundo orden:

Para la existencia de un máximo o mínimo relativo requiere que $Optimización de funciones$

Si $Optimización de funciones$ tendremos un máximo relativo.
Si $Optimización de funciones$ tendremos un mínimo relativo.

para valores arbitrarios de dx y dy, ambos no nulos.

Procedimiento práctico para la obtención de extremos:

Obtener las derivadas parciales primeras.
Igualar a 0 las derivadas parciales primeras, y resolver el sistema, hallando así los puntos críticos de la función.
Hallar las derivadas parciales segundas, para así obtener el determinante Hessiano.
Particularizamos el Hessiano para cada uno de los puntos.
- Si $Optimización de funciones$ Existe extremo.
- Si $Optimización de funciones$ Caso indeterminado.
- Si $Optimización de funciones$ Punto de Silla.
Cuando el Hessiano sea mayor de cero, es decir, el punto analizado sea extremo, observamos el signo de la segunda derivada de z con respecto a x:
- Si $Optimización de funciones$ Existe un máximo en $Optimización de funciones$
- Si $Optimización de funciones$ Existe un mínimo en $Optimización de funciones$
Cada valor extremo obtenido, se sustituye en la función $Optimización de funciones$ dada. Así obtenemos el valor de la coordenada z en el extremo.

Extremos relativos de funciones implícitas

Optimización con restricciones de igualdad

Optimizar la función objetivo $Optimización de funciones$ de n variables en la existen m restricciones (m<n)

$Optimización de funciones$ siendo $Optimización de funciones$ valores constantes.

Método de sustitución

Si…

…la función objetivo $Optimización de funciones$ y las restricciones $Optimización de funciones$ admiten derivadas parciales primeras en el dominio $Optimización de funciones$ en el que están definidas.
…las restricciones $Optimización de funciones$ son independientes.

entonces, el sistema formado por las m ecuaciones de restricción nos permiten exponer m de las n variables en función de las m-n restantes:

$Optimización de funciones$

lo equivale a optimizar:

$Optimización de funciones$ , donde $Optimización de funciones$

Método de multiplicadores de Lagrange

Dada la función $Optimización de funciones$ con la restricción $Optimización de funciones$ , donde b es una constante, al diferenciar la función objetivo y la restricción se tiene que:

$Optimización de funciones$

entonces:

El símbolo $Optimización de funciones$ es un número aún indeterminado y se llama multiplicador de Lagrange.

En los puntos en que la función tenga un extremo $Optimización de funciones$ , entonces obtenemos $Optimización de funciones$ resolviendo el siguiente sistema:

Función de Lagrange o lagrangiana

$Optimización de funciones$

Condición necesaria para obtener extremos relativos

Condición suficiente de óptimo a través del hessiano orlado

Si llamamos Hessiano Orlado a:

$Optimización de funciones$

Existirá un máximo si es mayor que cero y un mínimo se es menor que cero.

Condición suficiente de óptimo a través del estudio de la forma cuadrática de la segunda derivada de la función lagrangiana

Si su forma cuadrática es:

Positiva: Mínimo relativo
Negativa: Máximo relativo
Indefinida: Ni máximo, ni mínimo
Semidefinida: Caso dudoso

Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores de Lagrange equivalen a las derivadas parciales, y en economía se utilizan para valorar el término marginal. Por ello, los multiplicadores de Lagrange pueden interpretarse como cambios marginales (rentabilidad marginal, precio sombra, utilidad marginal, coste marginal …)

economía Matemáticas Uned

Exámenes Resueltos de Matemáticas II

por Antonio Martinez en Exámenes Resueltos, Matemáticas II

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Herramientas online de matemáticas

por Antonio Martinez en Matemáticas II

Para calcular límites:

Para calcular derivadas (paso a paso explicadas):

La diferencia que he visto entre la versión en español y la de inglés es que en la de español no hace directamente las derivadas segundas mixtas.

Para calcular integrales:

Editor online de ecuaciones Latex

http://www.codecogs.com/components/equationeditor/equationeditor.php

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Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

por Antonio Martinez en Matemáticas, Matemáticas II

Derivadas parciales

Las derivadas parciales de la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ en $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ se define:

Con respecto a x, es el número:
$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , sí existe el límite.
Con respecto a y, es el número:
$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , sí existe el límite.

De manera análoga, las funciones derivadas parciales son: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

, que ponen de manifiesto, que para obtener la función derivada parcial, con respecto a x (p.ej.) basta derivar con respecto a x, considerando a y (o a las restantes variables, si las hubiese) como si fueran constantes.

Hay que distinguir las formas de notar las funciones derivadas:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Derivadas parciales segundas

Al igual que en las funciones de una variables, la derivada de la función derivada era la derivada segunda (y así sucesivamente), en las funciones de varias variables, se obtiene las derivadas segundas.

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

o sea, la derivada con respecto a x, de la derivada con respecto a x, es la derivada segunda, con respecto a x dos veces.

Se escribe, también: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ ó $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Al igual,

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

que también se escribe: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ ó $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Las derivadas mixtas o cruzadas son:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Teorema de Schwarz

Si la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ admite las derivadas $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ ,en un entorno del punto $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ siendo $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ continua en dicho punto, existe también $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ en el mismo punto y se verifica que: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Derivada direccional y gradiente de una función

La derivada direccional de $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ en $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , en la dirección del vector unitario $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ se representa por: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ y vale:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

El vector: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ recibe el nombre de gradiente $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ en $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Más en wikipedia…

Determinante Jacobiano

Dadas n funcinoes de las n variables $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

se llama Jacobiano de las n funciones al determinante funcional.

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Determinante Hessiano

Se llama determinante Hessiano de la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ al jacobiano de sus derivadas primeras, o sea $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

en particular, para $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ :

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

y para $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Regla de la Cadena

La derivada respecto de x de una función que depende de ella por intermedio de otras variables, cada una de las cuales es función de la siguiente, es el producto de las derivadas de cada una de estas funciones, respecto de la variable de que depende inmediatemente. Así, su $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , o en esquema $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Diferencial total

El diferencial total es una aproximación lineal a la variación de la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ motivada por una pequeña variación en ambas variables $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Funciones implícitas

Dada la función implícita $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , no siempre existe la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , que explícita la $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Teorema de existencia: Sea R una región del plano en la cual está definida la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ y sea $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ un punto de dicha región. Si se verifican:

a) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

b) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ son continuas en R

c) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ no se anula en $\partial (x_0,y_0)$

,entonces existe un entorno de $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , en el cual existe $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ y se cumplen:

a) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

b) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

c) $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Derivación de funciones implícitas:

Para la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , el esquema sería:

Por tanto:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Para la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , donde z es función implícita de las variables independientes x e y, el esquema sería:

Por tanto,

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

en donde se obtienen:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Funciones homogéneas

Una función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ se dice es homogénea de grado m, cuando si en lugar de $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ se escribe: $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ , se cumple $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

m recibe el nombre de grado de homogeneidad.

Teorema de Euler

Si la función $Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$ es homogénea de grado m, verifica el teorema de Euler:

$Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.$

Recíprocamente, si una función verifica el teorema de Euler, es homogénea.

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Integrales

por Antonio Martinez en Matemáticas II

Integral Indefinida. Conceptos básicos.

Si para todos los puntos de un intervalo [a,b] se verifica F’(x)=f(x), entonces F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x) sobre ese intervalo.

Al proceso de recuperar una función F(x) a partir de su derivada f(x) se llama antiderivación.

Cualesquiera dos primitivas de una misma función difieren en una constante arbitraria k.

El conjunto de todas las primitivas de una función es la Integral Indefinida de esa función con respecto a x, denotada mediante:
$Integrales$
El simbolo $Integrales$ es un signo de integral. La función f es el integrando de la integral, y x es la variable de integración.

Ejemplo:

$Integrales$

Integral Definida

Sea f(x) una función definida de un intervalo cerrado [a,b]. Decimos que un número I es la integral definida de f en [a,b], y que $Integrales$ es el límite de las sumas de Riemman $Integrales$ si se satisface la siguiente condición:

Dado que cualquier número $Integrales$ existe un número correspondiente $Integrales$ tal que para toda partición $Integrales$ de [a,b] con $Integrales$ y cualquier elección de $Integrales$ , tenemos que:
$Integrales$

La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b] es el límite cuando cualquier partición P tiende a cero de las sumas de Riemann.
$Integrales$

Integral Impropia

Si existe el límite finito $Integrales$ , este límite se denomina Integral Impropia de la función f(x) en el intervalo $Integrales$ y se designa por $Integrales$

Si el límite es finito se dice que la integral impropia converge, en caso contrario se dice que diverge.

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Indeterminacion cero por infinito

por Antonio Martinez en Matemáticas II

Ejemplo:

$Indeterminacion cero por infinito$

Como sabemos que $Indeterminacion cero por infinito$ , aplicamos L´Hopital:

*Primer intento:

$Indeterminacion cero por infinito$

Esto parece más complicado que el enunciado…

*Segundo intento:

$Indeterminacion cero por infinito$

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Indeterminación: Uno elevado a infinito

por Antonio Martinez en Matemáticas II

Método 1: Identidad del número e

$Indeterminación: Uno elevado a infinito$

Método 2: Fórmula directa

$Indeterminación: Uno elevado a infinito$

Ejemplo:

$Indeterminación: Uno elevado a infinito$ $Indeterminación: Uno elevado a infinito$

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Derivada de una función

por Antonio Martinez en Matemáticas II

La derivada de la función f(x) en el punto x=a, es el límite, si existe, del incremento de la variable, cuando este tiende a cero.

Hoja resumen de derivadas.

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Límite. Definición Formal

por Antonio Martinez en Matemáticas II

Sea f una función definida en todos los puntos del intervalo $Límite. Definición Formal$ salvo tal vez en $Límite. Definición Formal$

$Límite. Definición Formal$

Que se lee: La función f(x) tiene límite L cuando X tiende a Xo si para cada épsilon positivo existe un número delta positivo que verifica que la distancia entre f(x) y L es menor que épsilon siempre que la distancia entre X y Xo sea menor que delta y no sea nula.

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Enlaces de Matemáticas II

por Antonio Martinez en Matemáticas II

General.
Tema 1 – Límite y Continuidad de una función en una variable.
- http://ppl_inc.galeon.com/Reglas_para_el_calc_de_lims.htm
- http://www2.uca.es/facultad/innova-empresariales/bego/matonline/lim-func-indet.html
Tema 2 – Derivadas.
Tema 3 – Integrales.
Tema 4 – Funciones de varias variables. Límte y Continuidad.
- http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/9-limites/index.html
Tema 5 – Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.
Tema 6 – Optimización de funciones.

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