Integral Indefinida. Conceptos básicos.

Si para todos los puntos de un intervalo [a,b] se verifica F’(x)=f(x), entonces F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x) sobre ese intervalo.

Al proceso de recuperar una función F(x) a partir de su derivada f(x) se llama antiderivación.

Cualesquiera dos primitivas de una misma función difieren en una constante arbitraria k.

El conjunto de todas las primitivas de una función es la Integral Indefinida de esa función con respecto a x, denotada mediante:
\int f(x)\; dx
El simbolo \int es un signo de integral. La función f es el integrando de la integral, y x es la variable de integración.

Ejemplo:

\displaystyle f(x)=\sin(x)\Rightarrow F'(x)=\cos(x)\\ \int\cos(x)\; dx=\sin(x)+k
Integral Definida

Sea f(x) una función definida de un intervalo cerrado [a,b]. Decimos que un número I es la integral definida de f en [a,b], y que \mathbb I es el límite de las sumas de Riemman \sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k si se satisface la siguiente condición:

Dado que cualquier número \epsilon >0 existe un número correspondiente \delta >0 tal que para toda partición P={x_0,x_1,. . .,x_n} de [a,b] con |P| < \delta y cualquier elección de c_k en [x_{k-1},x_k], tenemos que:

\displaystyle\left |\sum_{k=1}^n f(c_k) \Delta x_k - I \right | <\epsilon

La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b] es el límite cuando cualquier partición P tiende a cero de las sumas de Riemann.

\displaystyle\lim_{\| P\|\to 0} \sum_{k=1}^n f(c_k) \Delta x_k=I=\int_a^b f(x) \; dx
Integral Impropia

Si existe el límite finito \displaystyle\lim_{b \to \infty}\int_a^b f(x) \; dx, este límite se denomina Integral Impropia de la función f(x) en el intervalo [a, +\infty] y se designa por \displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)\; dx

Si el límite es finito se dice que la integral impropia converge, en caso contrario se dice que diverge.

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