Construcción de intervalos de confianza

Supongamos que una compañía dedicada a la producción de piezas para el sector de automoción, quiere analizar la productividad de una de sus plantas industriales y para ello realiza un control de las piezas fabricadas. Mediante el control realizado sobre una muestra aleatoria de piezas, estima que el 10 % de todas las piezas son defectuosas. El gerente que se encuentra con este dato se hace la siguiente pregunta: ¿Puedo estar seguro de que el verdadero porcentaje de piezas defectuosas está entre 5 % y 15 %? Esta clase de preguntas requieren información que va más allá de la contenida en una simple estimación puntual; se trata de buscar un rango de valores entre los que posiblemente se encuentre la cantidad que se estima.

En una estimación por intervalo se define un intervalo dentro del cual puede estar el parámetro desconocido. El intervalo suele ir acompañado de una afirmación sobre el nivel de confianza que se puede asignar a su precisión, por ello se llama intervalo de confianza.

  • Construcción e interpretación de los intervalos de confianza.

Podemos hacernos la siguiente pregunta; ¿Cómo podemos construir un intervalo y afirmar que confiamos al 95,5 %  que ese intervalo contiene  a  quicklatex.com f77a39f40b07c4653f91763b32cc9810 l3 Construcción de intervalos de confianza ,  si ni siquiera sabemos cuál es al media poblacional?

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Viendo el gráfico y recordando la valoración de normalidad que vimos, el 95,5 % de todas las medias muestrales se encontrarán entre quicklatex.com 4ced3003dda5429c3693ab4c04054a04 l3 Construcción de intervalos de confianza . No debemos olvidar que a partir de cualquier población podemos obtener muchas muestras diferentes de un mismo tamaño determinado, cada una de ellas con su propia media quicklatex.com 85f01128cfafa79e37d60a493251b78d l3 Construcción de intervalos de confianza. Todas estas medias muestrales dan lugar a un intervalo de confianza, que podrá incluir o no a la media poblacional. Por consiguiente, si a partir de cualquier media muestral nos desplazamos dos errores típicos por encima y otros dos por debajo de esa media quicklatex.com 9b453a750b91f70507fd82937785090e l3 Construcción de intervalos de confianza, podemos tener una confianza del 95,5 % de que el intervalo resultante contiene a la media poblacional desconocida.

Si tomáramos 100 muestras aleatorias de tamaño quicklatex.com 9ea21b7bc18ab9acc0dc6b2b7ed331f5 l3 Construcción de intervalos de confianza de la misma población y calculáramos los extremos del intervalo para cada muestra, entonces esperamos que aproximadamente el 95,5% de los intervalos contendrán en su interior el verdadero valor del parámetro quicklatex.com f77a39f40b07c4653f91763b32cc9810 l3 Construcción de intervalos de confianza y el  4,5% restante no lo contendrán. Pero como nosotros, en la práctica, sólo tomamos una muestra aleatoria y por tanto sólo tenemos un intervalo de confianza, no conocemos  si nuestro intervalo es uno del 95,5% o uno del 4,5 %, por eso hablamos de que tenemos un nivel de confianza del 95,5 %.

El valor de  95,5 % recibe el nombre de  nivel de confianza, es el nivel de confianza que tenemos en que el intervalo contiene el valor del parámetro desconocido. Al valor quicklatex.com f1560c00c47b57ad195dc97850c0fc32 l3 Construcción de intervalos de confianza se le llama coeficiente de confianza. El objetivo que se pretende con los intervalos de confianza es obtener un intervalo de poca amplitud y con una alta probabilidad de que el parámetro poblacional se encuentre en su interior. Así pues, elegiremos probabilidades cercanas a la unidad, que se representan por quicklatex.com 3c30d87c3f67dd229e1e68c0921730ad l3 Construcción de intervalos de confianza, y cuyos valores más frecuentes suelen ser: 0,90, 0,95, 0,99., que corresponden al 99%, 95% y 90%

La precisión de la estimación por intervalos vendrá caracterizada por el nivel de confianza y por la amplitud del intervalo:

  • Para un coeficiente de confianza fijo, cuanto más pequeño sea el intervalo de confianza más precisa será la estimación.
  • Para una misma amplitud de intervalo, cuanto mayor sea el coeficiente de confianza mayor será la precisión.

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