Estimación Puntual

Objetivo y características fundamentales

En una estimación puntual se utiliza un solo número o valor para determinar una estimación del parámetro poblacional desconocido. En la estimación puntual se asume que el estadístico es un buen estimador del parámetro. Obviamente cualquier estadístico no sirve, es necesario que satisfaga ciertas propiedades:

Propiedades de los estimadores puntuales

1.- Estimador insesgado o centrado y de varianza mínima. Cota de Cramer-Rao

Se dice que un estimador es insesgado o centrado si la media de la distribución muestral del estadístico muestral coincide con el parámetro a estimar. Es decir, si repetimos el proceso de muestreo muchas vedes en promedio el valor que se obtiene de un estimador insesgado será igual al parámetro poblacional. Un estimador es insesgado cuando no existe sesgo entre la esperanza del estimador y el parámetro poblacional, o sea,  la esperanza del estimador es el propio parámetro.

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Para obtener un estimador insesgado de varianza mínima, hay que determinar las varianzas de todos los estimadores insesgados de quicklatex.com 48538a650b6d276a8dc1acea2a5a7f33 l3 Estimación Puntual y seleccionar el que posea la varianza más pequeña. La cota de Cramer Rao permite obtener una cota inferior de la varianza.

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Siendo quicklatex.com 0c15aeac8003ee7b155b22777497013a l3 Estimación Puntual la función de verosimilitud.

La media, la varianza  y las proporciones muestrales son estimadores insesgados de los correspondientes parámetros poblacionales.

No debemos olvidar que la varianza muestral la hemos definido quicklatex.com 6a83930a7fce215e4d573e98837ae4bb l3 Estimación Puntual, para que podamos obtener un estimador insesgado.

2.- Estimador eficiente

Un estimador es eficiente si se cumple que:

  • Es insesgado. quicklatex.com 12ad22555b8ebbba439634371241b009 l3 Estimación Puntual
  • Posee varianza mínima. Para calcular si el valor adquirido por la varianza es mínimo, usamos la cota de Cramer-Rao.

Si se tienen dos estimadores insesgados, que siguen las mismas distribuciones, para un mismo tamaño muestral quicklatex.com 9ea21b7bc18ab9acc0dc6b2b7ed331f5 l3 Estimación Puntual , se dice que uno es más eficiente que el otro cuando su varianza es menor.

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El estimador 1 será más eficiente que el estimador 2. Al ser estimadores insesgados ambas distribuciones muestrales tienen la misma media, luego será más homogénea la distribución que posee menor varianza.

3.- Estimador consistente

La consistencia de un estimador está relacionada con el comportamiento del estimador cuando el tamaño de la muestra aumenta. Es decir, a medida que el tamaño de la muestra aumenta la información que nos proporciona sobre la población será mayor.

Se dice que un estimador es consistente cuando al aumentar el tamaño de la muestra, el valor medio de la distribución muestral del estadístico muestral tiende al parámetro a estimar.

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Así cuando el tamaño de la muestra aumenta la información es más completa y la varianza del estimador suele ser menor, por tanto la distribución muestral de ese estimador tenderá a encontrarse más concentrada alrededor del parámetro que pretendemos estimar.

4.- Estimador suficiente

Este concepto de suficiencia fue introducido por Fisher en 1922, y puede decirse que:

Diremos que un estadístico es suficiente para un parámetro poblacional desconocido cuando recoge toda la información que la muestra contiene sobre el parámetro. Dicho de otra forma: Una vez que sabemos el valor que ha tomado el estadístico, la muestra quicklatex.com bb4eed5d229e588b23646fa338aa36a0 l3 Estimación Puntual ya no puede proporcionarnos mas información sobre dicho parámetro. Esto equivale a decir que, si el estadístico es suficiente, la distribución de probabilidad de la muestra condicionada a que conocemos el valor del estadístico , ha de ser independiente del parámetro.

Estimador invariante

Un estimador es invariante si se verifica que el estimador de una función del parámetro es igual a la función del estimador del parámetro.

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Por ejemplo si la varianza muestral es estimador de la varianza poblacional, si el método de estimación es invariante, la desviación típica muestral será estimador de la desviación típica poblacional.

Existen estimadores invariantes a cambios de origen, cambios de escala, o cambios de origen y escala.

Estimador robusto

Un estimador es robusto cuando pequeños cambios en las hipótesis de partida del procedimiento de estimación considerado, no producen variaciones significativas en los resultados obtenidos.

Para estimaciones de la media poblacional, no conociendo la desviación típica muestral, utilizamos el estadística T- Student con quicklatex.com be273509ee9d52c079f2ca5f410b76c5 l3 Estimación Puntual grados de libertad, y con un tamaño de muestra relativamente grande:

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Ante pequeñas variaciones en la distribución quicklatex.com 423e2c4cb16cfe718cb438b488a00c75 l3 Estimación Puntual, no se producen cambios sustanciales en los procedimientos basados en este estadístico.

Si realizamos pequeñas variaciones en la distribución, sí se producen cambios sustanciales para procedimientos que se realicen sobre la varianza poblacional, basados en el estadístico quicklatex.com c594a474445599887d1974294d628a41 l3 Estimación Puntual


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