Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Derivadas parciales

Las derivadas parciales de la función en se define:

• Con respecto a x, es el número:
  , sí existe el límite.
• Con respecto a y, es el número:
  , sí existe el límite.

De manera análoga, las funciones derivadas parciales son:

, que ponen de manifiesto, que para obtener la función derivada parcial, con respecto a x (p.ej.) basta derivar con respecto a x, considerando a y (o a las restantes variables, si las hubiese) como si fueran constantes.

Hay que distinguir las formas de notar las funciones derivadas:

Interpretación geométrica de la derivada parcial

..

Derivadas parciales segundas

Al igual que en las funciones de una variables, la derivada de la función derivada era la derivada segunda (y así sucesivamente), en las funciones de varias variables, se obtiene las derivadas segundas.

o sea, la derivada con respecto a x, de la derivada con respecto a x, es la derivada segunda, con respecto a x dos veces.

Se escribe, también: ó

Al igual,

que también se escribe: ó

Las derivadas mixtas o cruzadas son:

Teorema de Schwarz

Si la función admite las derivadas ,en un entorno del punto siendo continua en dicho punto, existe también en el mismo punto y se verifica que:

Derivada direccional y gradiente de una función

La derivada direccional de en , en la dirección del vector unitario se representa por: y vale:

El vector: recibe el nombre de gradiente en

Más en wikipedia…

Determinante Jacobiano

Dadas n funcinoes de las n variables

se llama Jacobiano de las n funciones al determinante funcional.

Determinante Hessiano

Se llama determinante Hessiano de la función al jacobiano de sus derivadas primeras, o sea

en particular, para :

y para

Regla de la Cadena

La derivada respecto de x de una función que depende de ella por intermedio de otras variables, cada una de las cuales es función de la siguiente, es el producto de las derivadas de cada una de estas funciones, respecto de la variable de que depende inmediatemente. Así, su , o en esquema

Diferencial total

El diferencial total es una aproximación lineal a la variación de la función motivada por una pequeña variación en ambas variables

Funciones implícitas

Dada la función implícita , no siempre existe la función , que explícita la

Teorema de existencia: Sea R una región del plano en la cual está definida la función y sea un punto de dicha región. Si se verifican:

a)

b) son continuas en R

c) no se anula en $partial (x_0,y_0)$

,entonces existe un entorno de , en el cual existe y se cumplen:

a)

b)

c)

Derivación de funciones implícitas:

Para la función , el esquema sería:

Por tanto:

Para la función , donde z es función implícita de las variables independientes x e y, el esquema sería:

Por tanto,

en donde se obtienen:

Funciones homogéneas

Una función se dice es homogénea de grado m, cuando si en lugar de se escribe: , se cumple

• m recibe el nombre de grado de homogeneidad.

Teorema de Euler

Si la función es homogénea de grado m, verifica el teorema de Euler:

Recíprocamente, si una función verifica el teorema de Euler, es homogénea.

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