Derivadas parciales

Las derivadas parciales de la función z=f(x,y) en (x_0, y_0) se define:

  • Con respecto a x, es el número:
    \displaystyle f'(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}, sí existe el límite.
  • Con respecto a y, es el número:
    \displaystyle f'(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y \to 0}\dfrac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}, sí existe el límite.

De manera análoga, las funciones derivadas parciales son: \displaystyle f'_x(x,y)=\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}


f'_y(x,y)=\lim_{\Delta y \to 0}\dfrac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}

, que ponen de manifiesto, que para obtener la función derivada parcial, con respecto a x (p.ej.) basta derivar con respecto a x, considerando a y (o a las restantes variables, si las hubiese) como si fueran constantes.

Hay que distinguir las formas de notar las funciones derivadas:

f'x(x,y)=\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial x}=D_xf


f'y(x,y)=\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial y}=D_yf
Interpretación geométrica de la derivada parcial

..

Derivadas parciales segundas

Al igual que en las funciones de una variables, la derivada de la función derivada era la derivada segunda (y así sucesivamente), en las funciones de varias variables, se obtiene las derivadas segundas.

\dfrac{\partial }{\partial x}\cdot \left ( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right )=\dfrac{\partial ^2 z}{dx^2}

o sea, la derivada con respecto a x, de la derivada con respecto a x, es la derivada segunda, con respecto a x dos veces.

Se escribe, también:\dfrac{\partial ^2 f}{dx^2} ó f''x^2

Al igual,

\dfrac{\partial }{\partial y}\cdot \left ( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right )=\dfrac{\partial ^2 z}{dy^2}

que también se escribe: \dfrac{\partial ^2 f}{dy^2} ó f''y^2

Las derivadas mixtas o cruzadas son:

\dfrac{\partial ^2f}{\partial y \partial x}=\dfrac{\partial ^2 z}{\partial y \partial x}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left ( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right )=f''_{xy}


\dfrac{\partial ^2f}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial ^2 z}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left ( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right )=f''_{yx}
Teorema de Schwarz

Si la función z=f(x,y) admite las derivadas f'_x,f''_y,f'',en un entorno del punto (x_o ,y_o ) siendo f''_{xy} continua en dicho punto, existe también f''_{yx} en el mismo punto y se verifica que: f''_{yx}(x_o ,y_o )=f''_{xy} (x_o ,y_o )

Derivada direccional y gradiente de una función

La derivada direccional de f(x,y) en (x_0,y_0), en la dirección del vector unitario \vec u=(u_1,u_2) se representa por: D_\phi f(x_0,y_0) y vale:

D_\phi f(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0) \cdot u_1 + f'_y (x_0,y_0) \cdot u_2

El vector: \Big ( f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0) \Big ) recibe el nombre de gradiente f(x,y) en (x_0,y_0)

Más en wikipedia…

Determinante Jacobiano

Dadas n funcinoes de las n variables x_1,x_2,. . .,x_n

\vec u_1=f_1(x_1,x_2,. . .,x_n) \\ \vec u_2=f_2(x_1,x_2,. . .,x_n)\\ . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .\\ \vec u_n=f_n(x_1,x_2,. . .,x_n)

se llama Jacobiano de las n funciones al determinante funcional.

J=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\vec u_1}{\partial x_1} &\dfrac{\partial\vec u_1}{\partial x_2} & . . . &\dfrac{\partial\vec u_1}{\partial x_n}\\ \dfrac{\partial\vec u_2}{\partial x_1} &\dfrac{\partial\vec u_2}{\partial x_2} &\cdots &\dfrac{\partial\vec u_2}{\partial x_n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \dfrac{\partial\vec u_n}{\partial x_1} &\dfrac{\partial\vec u_n}{\partial x_2} & \cdots &\dfrac{\partial\vec u_n}{\partial x_n}\end{vmatrix}=\dfrac{\partial (\vec u_1,\vec u_2,. . .,\vec u_n)}{\partial (x_1,x_2,\cdots ,x_n)}
Determinante Hessiano

Se llama determinante Hessiano de la función f(x_1,x_2,. . .,x_n) al jacobiano de sus derivadas primeras, o sea H(x_1,x_2,. . .,x_n)=\dfrac {\partial (f'x_1,f'x_2,. . .,f'x_n)}{\partial (x_1,x_2,. . .,x_n)}

H=(x_1,x_2,. . .,x_n)=\begin{vmatrix}f''x_1x_1&f''x_1x_2&. . .&f''x_1x_n\\ f''x_2x_1&f''x_2x_2&. . .&f''x_2x_n\\ . . .&. . .&. . .&. . .\\ f''x_nx_1&f''x_nx_2&. . .&f''x_nx_n\end{vmatrix}

en particular, para f(x,y):

H(x,y)=\begin{vmatrix}f''x^2 &f''xy \\ f''yx & f''y^2\end{vmatrix}

y para f(x,y,z)

H(x,y,z)=\begin{vmatrix}f''x^2 &f''xy &f''xz \\ f''yx & f''y^2 &f''yz \\ f''zx & f''zy & f''z^2\end{vmatrix}
Regla de la Cadena

La derivada respecto de x de una función que depende de ella por intermedio de otras variables, cada una de las cuales es función de la siguiente, es el producto de las derivadas de cada una de estas funciones, respecto de la variable de que depende inmediatemente. Así, su u=v(v), v=w(w) y w=x(x), o en esquema u \rightarrow v \rightarrow w \rightarrow x\\ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{du}{dv}\cdot\dfrac{dv}{dw}\cdot\dfrac{dw}{dx}

Diferencial total

El diferencial total es una aproximación lineal a la variación de la función z=f(x,y) motivada por una pequeña variación en ambas variables (x,y)

D_z=f'_xdx + f'_ydy
Funciones implícitas

Dada la función implícita F(x,y)=0, no siempre existe la función y=f(x), que explícita la y

Teorema de existencia: Sea R una región del plano en la cual está definida la función F(x,y)=0 y sea (x_0,y_0) un punto de dicha región. Si se verifican:

a) F(x_0,y_0)=0


b) \dfrac{\partial F}{\partial x} y \dfrac{\partial F}{\partial y} son continuas en R


c) \dfrac{\partial F}{\partial y} no se anula en $\partial (x_0,y_0)$

,entonces existe un entorno de x_0, en el cual existe y=f(x) y se cumplen:

a) y_0=f(x_0)


b) F(x,f(x))=0


c) \dfrac {dy}{dx}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}


Derivación de funciones implícitas:

Para la función F(x,y)=0, el esquema sería:

esquema xy

Por tanto:

\dfrac{\partial F}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial y}\cdot \dfrac{dy}{dx};\; \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}

Para la función F(x,y,z)=0, donde z es función implícita de las variables independientes x e y, el esquema sería:

esquema xyz

Por tanto,

\dfrac{\partial F}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial z}\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x}=0;\;\dfrac{\partial F}{\partial y}+\dfrac{\partial F}{\partial z}\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y}=0

en donde se obtienen:

\dfrac {\partial z}{\partial x} y \dfrac{\partial z}{\partial y}
Funciones homogéneas

Una función f(x,y,z) se dice es homogénea de grado m, cuando si en lugar de x,y,\cdots ,z se escribe: \lambda x,\lambda y, \cdots , \lambda z, se cumple f(\lambda x,\lambda y, \lambda z)=\lambda ^m f(x,y,z)

  • m recibe el nombre de grado de homogeneidad.
Teorema de Euler

Si la función f(x,y,z) es homogénea de grado m, verifica el teorema de Euler:

x\cdot f'_x(x,y,z)+y\cdot f'_y(x,y,z)+\cdots +z\cdot f'_z(x,y,z)=m\cdot f(x,y,z)

Recíprocamente, si una función verifica el teorema de Euler, es homogénea.

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