Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Derivadas parciales

Las derivadas parciales de la función quicklatex.com 277fd2ba1e1de1c8faa2c9ad1d8265cf l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. en quicklatex.com 41c9c5f27c6c4c2d82e94d318376eafa l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. se define:

  • Con respecto a x, es el número:
    quicklatex.com 5eecb65c349ea4dee7f225da7b671c79 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación., sí existe el límite.
  • Con respecto a y, es el número:
    quicklatex.com e9c7e58b67db3e84fbdbf00c9b901577 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación., sí existe el límite.

De manera análoga, las funciones derivadas parciales son: quicklatex.com 9f32f79b887a45d157a0f539ce9ca461 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.


quicklatex.com 6980afc63916f8c9d355afeae657a807 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

, que ponen de manifiesto, que para obtener la función derivada parcial, con respecto a x (p.ej.) basta derivar con respecto a x, considerando a y (o a las restantes variables, si las hubiese) como si fueran constantes.

Hay que distinguir las formas de notar las funciones derivadas:

quicklatex.com 645a4e0850b7a3523e7ea1d4104292ac l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.


quicklatex.com 7006dd8123e3178818b9877580bc1728 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Interpretación geométrica de la derivada parcial

..

Derivadas parciales segundas

Al igual que en las funciones de una variables, la derivada de la función derivada era la derivada segunda (y así sucesivamente), en las funciones de varias variables, se obtiene las derivadas segundas.

quicklatex.com 827e24b06428b20b7ac43ca1dfc46421 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

o sea, la derivada con respecto a x, de la derivada con respecto a x, es la derivada segunda, con respecto a x dos veces.

Se escribe, también:quicklatex.com 8802c4cc15e20b383d266ba64691b5a3 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. ó quicklatex.com 8a30f6b5e54c38a04ed7598f3806a5cf l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Al igual,

quicklatex.com 5e82e0f0616000fb8d684b252db249b0 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

que también se escribe: quicklatex.com 86836872ac1efe6f007b654fd4517a61 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. ó quicklatex.com 7716d000bcebc3f31a471c452888ad55 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Las derivadas mixtas o cruzadas son:

quicklatex.com 4fd366cc0e193e8683ac606dbc168598 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.


quicklatex.com 919073f5ebb68ee4b5ae3475c9ccc462 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Teorema de Schwarz

Si la función quicklatex.com 277fd2ba1e1de1c8faa2c9ad1d8265cf l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. admite las derivadas quicklatex.com db5f6a956de4cd420a31a5c79876f930 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.,en un entorno del punto quicklatex.com 19c146c5741545b1878fac4fdd289bb1 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. siendo quicklatex.com d269629b1f64572cb7e9c471c3352795 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. continua en dicho punto, existe también quicklatex.com afc46913d00171ace891df058130d3a3 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. en el mismo punto y se verifica que: quicklatex.com 17da5d5a66ad0ac1b0a4a7919bb72dd3 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Derivada direccional y gradiente de una función

La derivada direccional de quicklatex.com 15a1b63237783bd8752b8cf75c47dd8c l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. en quicklatex.com 4bb673f81ec891e629823110cca92652 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación., en la dirección del vector unitario quicklatex.com e6d8dc2bd21cc26d3af45a5db1e60bbc l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. se representa por: quicklatex.com 943efe8a7be5387bb1e98db034ea3f81 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. y vale:

quicklatex.com 63683f8584bd2b778cb7bfa7c000bff1 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

El vector: quicklatex.com 87039ab41b6b7997226cbedebf41e29e l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. recibe el nombre de gradiente quicklatex.com 15a1b63237783bd8752b8cf75c47dd8c l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. en quicklatex.com 4bb673f81ec891e629823110cca92652 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Más en wikipedia…

Determinante Jacobiano

Dadas n funcinoes de las n variables quicklatex.com 5a06bb8ba7938a2a8c41dad5297f9329 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

quicklatex.com 9af21b689adac97e0d9ab040216f92d8 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

se llama Jacobiano de las n funciones al determinante funcional.

quicklatex.com 09f752a03757fa4b053d0d8cd08a051c l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Determinante Hessiano

Se llama determinante Hessiano de la función quicklatex.com de44ffd9b11f49e46f488900db226770 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. al jacobiano de sus derivadas primeras, o sea quicklatex.com f4dcfe9a6085ee9c13aa77e40a4044f2 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

quicklatex.com 9f56ce47915b71a4bc71ef1157c8224b l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

en particular, para quicklatex.com 15a1b63237783bd8752b8cf75c47dd8c l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.:

quicklatex.com 514fc4b40e62c83f663b84434c6e1f49 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

y para quicklatex.com 93d552a53935ac5cae6672fda5563400 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

quicklatex.com 1a6f111ad9e526540c731742a0ce2800 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Regla de la Cadena

La derivada respecto de x de una función que depende de ella por intermedio de otras variables, cada una de las cuales es función de la siguiente, es el producto de las derivadas de cada una de estas funciones, respecto de la variable de que depende inmediatemente. Así, su quicklatex.com eff7d564a54c68b43122aaedf5a7ed0d l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación., o en esquema quicklatex.com 30c74bc9e5470225e3950a3fb12cc1a7 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Diferencial total

El diferencial total es una aproximación lineal a la variación de la función quicklatex.com 277fd2ba1e1de1c8faa2c9ad1d8265cf l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. motivada por una pequeña variación en ambas variables quicklatex.com ca0ec35f3bf26361386cbb9337196a0d l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

quicklatex.com 9dcab8a56ad44603bfa525592a7e24f7 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Funciones implícitas

Dada la función implícita quicklatex.com 665ddb27569b2771b03309dda24256c3 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación., no siempre existe la función quicklatex.com 3cd08abb2f4c3af59f9ee5f6974f99a6 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación., que explícita la quicklatex.com ece1a54b9a83a60f13c6879dfb2bd07b l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Teorema de existencia: Sea R una región del plano en la cual está definida la función quicklatex.com 665ddb27569b2771b03309dda24256c3 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. y sea quicklatex.com 4bb673f81ec891e629823110cca92652 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. un punto de dicha región. Si se verifican:

a) quicklatex.com 9e914fe2e4e52aba5883ae727f66b8a4 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.


b) quicklatex.com 092e730ea20c439d758944c2a36f8a08 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. son continuas en R


c) quicklatex.com 69f9a5963bbda30311b42d9ba1abea1c l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. no se anula en quicklatex.com 9ee9d41a972307724d74c427818d230c l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

,entonces existe un entorno de quicklatex.com 3a89fe66a946d8a9a3b6826653789cfd l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación., en el cual existe quicklatex.com 3cd08abb2f4c3af59f9ee5f6974f99a6 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. y se cumplen:

a) quicklatex.com a907ebbcd0925e60b43fba20c4f0df24 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.


b) quicklatex.com 4c48944b985700ea5136e43aa14cdda5 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.


c) quicklatex.com 9baf7ea5cdd8b53183d7c4f81a9106b4 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.


Derivación de funciones implícitas:

Para la función quicklatex.com 665ddb27569b2771b03309dda24256c3 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación., el esquema sería:

esquemaxy thumb Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Por tanto:

quicklatex.com d4c3c2ea8d41b5b5dbcc17a094fef8a9 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Para la función quicklatex.com 28feb96076eadc439bc5af8ca1b0de18 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación., donde z es función implícita de las variables independientes x e y, el esquema sería:

esquemaxyz thumb Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Por tanto,

quicklatex.com d33a88f042fdd56bf267f4db782d7d0b l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

en donde se obtienen:

quicklatex.com 9ca023ad53f054fe2f1596088d072e02 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Funciones homogéneas

Una función quicklatex.com 93d552a53935ac5cae6672fda5563400 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. se dice es homogénea de grado m, cuando si en lugar de quicklatex.com 88fc559fbca89ad046b31df8bd5855b3 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. se escribe: quicklatex.com aaf23090645da68e0b6b800551f76f1b l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación., se cumple quicklatex.com b9afd2ca7a7c929341318515ae0fcd16 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

  • m recibe el nombre de grado de homogeneidad.
Teorema de Euler

Si la función quicklatex.com 93d552a53935ac5cae6672fda5563400 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación. es homogénea de grado m, verifica el teorema de Euler:

quicklatex.com 25be92036162acb7541f3b880c123f47 l3 Funciones de varias variables. Diferenciación y Derivación.

Recíprocamente, si una función verifica el teorema de Euler, es homogénea.


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