La integración por partes es una técnica de integración que tiene por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulta más sencillo.

Hay formas mnemotécnias como “Solo Un Día Vi Un Viejo Soldado Vestido De Uniforme”, sin embargo es más práctico conocer el origen matemático de esta fórmula para comprenderla mejor:

Su fórmula parte de la derivada del producto de dos funciones:

d(u\cdot v)=du\cdot v + u\cdot dv \\ \int d(u\cdot v)=\int v\cdot du + \int u\cdot dv \\ \int u\cdot dv=u\cdot v - \int v\cdot du

El éxito de esta técnica estriba en seleccionar apropiadamente u y dv en la integral dada, porque se trata de ir simplificando la integral hasta dar con el resultado final. Para ello, es bueno conocer la regla de los ALPES, la cuál nos identifica el orden de prioridad para elegir la función u con respecto a dv, esto es:

A > Arcsen y Arccos 
L > Logaritmos
P > Polinomios
E > Exponenciales
S > Seno y Coseno

Ejemplo:

\displaystyle \int lnx\; dx \Rightarrow \begin{Bmatrix}u=lnx & dv=dx\\ \\du=\dfrac{1}{x}dx &v=x \end{Bmatrix} \displaystyle\int lnx\; dx=lnx\cdot x - \int x\cdot\cfrac{1}{x}\; dx=x\cdot lnx-x + k=x(lnx - 1)+k

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