Leyes de capitalización

Por Antonio Martinez el 28/10/2009 en 01:13 en Matemática Financiera I٬ Matemáticas

Capitalización simple

Expresión matemática

L_1(t;p)=1+i\cdot (p-t) \left \{ \begin{matrix}i>0 \\ t<p \end{matrix} \right .

El parámetro "i" es el tanto o incremento por unidad de cuantía y unidad de tiempo y (t-p) mide el tiempo durante el cual se capitaliza la unidad monetaria.

Dado que se trata de una ley estacionaria, podemos escribir la capitalización simple de otra forma, expresando el intervalo de capitalización como z=p-t (tiempo interno de la operación.

L_1(z)=1+i\cdot z \left \{ \begin{matrix}i>0 \\ z=p-t \end{matrix} \right .

Magnitudes derivadas

Todas las magnitudes derivadas dependen del parámetro p, a excepción de las acumuladas. En concreto, el tanto y el tanto instantáneo acumulado son iguales al parámetro "i"

Montante e interés

El montante es el resultado de capitalizar hasta el extremo superior del intervalo el capital que vence en el extremo inferior del intervalo.

El interés es el incremento que experimenta el capital que vence en el extremo inferior del intervalo por diferir su disponibilidad hasta el extremo superior.

M=C\cdot L_1(z)=C(1+i\cdot z)

I=M-C=C(1+i\cdot z)-C=C\cdot i \cdot z

Tantos equivalentes

Lo habitual es que el parámetro "i" sea el tanto anual.

Si la unidad de medida del tiempo cambia, hay que dividir "i" entre el número de veces que se fracciona el año.

i_m=\dfrac {i}{m}

Capitalización compuesta

Expresión matemática

L_2(t;p)=(1+i)^{p-t}=e^{k\cdot (p-t)}\left \{ \begin{matrix}i,k>0 \\ t<p \end{matrix} \right .

El parámetro "i" es el tanto o incremento por unidad de cuantía y unidad de tiempo, la diferencia "p-t" mide el tiempo durante el cual se capitaliza la unidad monetaria y el parámetro k es el tanto instantáneo de capitalización.

Dado que se trata de una ley estacionaria, podemos escribir la capitalización compuesta de otra forma, expresando el intervalo de capitalización como z=p-t (tiempo interno de la operación)

L_2(z)=(1+i)^z=e^{k\cdot z}\left \{ \begin{matrix}i,k>0 \\ z=p-t \end{matrix} \right .

Magnitudes derivadas

No dependen del parámetro p, a excepción de las magnitudes acumuladas.

Montante e interés

El montante es el resultado de capitalizar hasta el extremo superior del intervalo el capital que vence en el extremo inferior del intervalo.

M=C\cdot L_2(z)=C\cdot (1+i)^z

El interés es el incremento que experimenta el capital que vence en el extremo inferior del intervalo por diferir su disponibilidad hasta el extremo superior.

I=M-C=C\cdot (1+i)^z-C=C\cdot [(1+i)^z-1]

Tantos equivalentes

Al igual que ocurría en la capitalización simple, el parámetro "i" de la ley de capitalización compuesta es habitualmente el tanto anual. Si se cambia la unidad medida de tiempo, el rédito correspondiente a esa fracción del año se obtendrá a partir de la siguiente relación:

(1+i)=(1+i_m)^m\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}i_m=(1+i)^{1/m}-1\\i=(1+i_m)^m-1\end{matrix} \right .

El tanto nominal es otra medida de los tipos de interés en la capitalización compuesta.

Se trata de la proyección aritmética anual del correspondiente rédito i_m

Comparación entre la capitalización simple y la compuesta (para un mismo valor del parámetro i)

\left\{\begin{matrix}t=0\Longrightarrow L_1=L_2\\0<t<1\Longrightarrow L_1>L_2\\t=1\Longrightarrow L_1=L_2\\t>1\Longrightarrow L_1<L_2\end{matrix}\right\}

El convenio lineal y el convenio exponencial

Cuando la amplitud del intervalo comprende un periodo de años y una parte fraccionada se pueden acordar por las partes varias soluciones para calcular el montante correspondiente:

  • Aplicar la capitalización simple a todo el intervalo
    M=C\cdot \left ( {1+i\cdot\dfrac{n\cdot m+k}{m}} \right )
  • Aplicar la capitalización compuesta a todo el intervalo (convenio exponencial)
    M=C\cdot (1+i)^{n+k/m}
  • Aplicar la capitalización compuesta al periodo entero de año y la capitalización simple al periodo fraccionado (convenio lineal)
    M=C\cdot (1+i)^n\cdot \left ( 1+i\cdot\dfrac{k}{m}\right )

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