Límite doble

El número L\in \Re es el límite de la función f(x,y) cuando (x,y) tiende a (x_0,y_0) si, prefijado cualquier número positivo \epsilon, existe un número \delta de manera que en todo punto (x,y) del dominio de la función perteneciente al entorno reducido E'(P_0,\delta ), la función tome un valor z=f(x,y) que pertenezca al entorno E(L,\epsilon )

\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0 / (x,y)\in E'(P_0,\delta)\Rightarrow f(x,y)\in E(L,\varepsilon)

Observaciones:

  • El punto P_0 debe ser de acumulación del dominio para poder calcular los valores de la función en puntos tan próximos a (x_0,y_0) como se quiera.
  • La expresión f(x,y)\in E(L,\varepsilon ) es equivalente a escribir: |f(x,y)-L|<\varepsilon

Propiedades:

  1. Si existe \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L, éste debe ser único. (Unicidad del límite)
  2. si \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L, entonces en algún entorno del punto P_0(x_0,y_0) la función f está acotada.
  3. Si \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L_1 y \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}g(x,y)=L_2, entonces:
    • \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)\pm g(x,y)=L_1\pm L_2
    • \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)\cdot g(x,y)=L_1\cdot L_2
    • \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\dfrac{f(x,y)}{g(x,y)}=\dfrac{L_1}{L_2}, si L_2\neq 0
    • \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}|f(x,y)|=|\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)|
    • Si \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L, entonces, en algún entorno reducido del punto P_0(x_0,y_0) la función conserva el mismo signo que el límite L.
    • Si \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L, entonces, la función puede expresarse como suma de su límite más un infinitésimo en el punto, o sea f(x,y)=L+r(x,y) con \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}r(x,y)=0
Límite infinito:
\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=\infty \Leftrightarrow \forall M>0,\exists\delta >0 / 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)|>M

 

Límites sucesivos o reiterados:

Supongamos que para calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y), fijamos la variable y y hacemos tender x a x_0; si éste límite existe, obviamente dependerá del valor que hayamos fijado de y, es decir, que será una función \varphi (y). El límite de dicha función para y tendiendo a y_0 se denomina límite sucesivo o reiterado:

\displaystyle\lim_{y\ y_0}\left [ \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x,y) \right ]=\displaystyle\lim_{y\to y_0}\varphi(y)=L_1

Hagamos notar que para que exista L_1, debe existir la función \varphi (y)=\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x,y) en un entorno reducido del punto y=y_0 sobre la recta de ecuación x=x_0

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