Muestreo

Muestra aleatoria

Una muestra aleatoria simple de tamaño “ n “ consiste en n objetos (individuos) de una población de N objetos ( individuos ), escogidos de manera que cualquier conjunto de n objetos de la población tenga la misma oportunidad de convertirse en la muestra realmente seleccionada.
Una muestra aleatoria simple no sólo da a cada individuo la misma oportunidad de ser escogido evitando por tanto el sesgo en la selección (diremos que el diseño de un estudio es sesgado si favorece sistemáticamente ciertos resultados), sino que también da a cada posible muestra la misma oportunidad de ser escogida.

Puede pensarse en el proceso de muestreo aleatorio simple de la forma siguiente:
Supongamos que los N miembros de la población se introducen en un enorme sombrero y se mezclan concienzudamente. Una muestra aleatoria simple se obtiene extrayendo a  n  de ellos. En la práctica no es necesario hacerlo de este modo, los programas estadísticos pueden escoger una muestra aleatoria simple casi de forma instantánea de una lista de individuos de una población, o también se puede aleatorizar utilizando una tabla de dígitos aleatorios.

Por el momento nos limitaremos a muestras que hayan sido seleccionadas mediante esquemas de muestreo aleatorio simple. Sin embargo, debemos aclarar que este no es el único procedimiento que existe para elegir individuos de una población, y que, en determinadas circunstancias, pueden resultar preferibles esquemas de muestreo alternativos.

Parámetros poblacionales y estadísticos muestrales

Generalmente diremos que los parámetros poblacionales son las características numéricas de la población. En la estadística clásica un parámetro se puede considerar como una constante fija cuyo valor se desconoce. Uno de los problemas más comunes en la estadística inferencial es estudiar una población con una función de distribución quicklatex.com 9c6d15210637ca8490a4014f104c2826 l3 Muestreo donde la forma de la función de distribución es conocida pero depende de un parámetro quicklatex.com 48538a650b6d276a8dc1acea2a5a7f33 l3 Muestreo desconocido, ya que si fuese conocido tendríamos totalmente especificada la función de distribución.

Un estadístico es una variable aleatoria, que es función de las observaciones muestrales y no contiene ningún valor o parámetro desconocido. Continuando con la población de función de distribución quicklatex.com 9c6d15210637ca8490a4014f104c2826 l3 Muestreo , y considerando una muestra aleatoria simple  quicklatex.com bb4eed5d229e588b23646fa338aa36a0 l3 Muestreo constituida por quicklatex.com 9ea21b7bc18ab9acc0dc6b2b7ed331f5 l3 Muestreo  variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas  podemos definir como estadísticos:
quicklatex.com c580c4d827b54c8840d040c006be3c7c l3 Muestreo

quicklatex.com 517f063bab48da3b770b8982432949b9 l3 Muestreo

… etc.
Por tanto, parámetro y estadístico son conceptos muy diferentes. Un parámetro es una constante que describe la población y cuando se conoce queda determinado el modelo probabilístico y un estadístico es una variable aleatoria cuyo valor depende de las observaciones muestrales.
Veamos el siguiente cuadro:

Dada una población finita de tamaño N, y una muestra aleatoria simple de tamaño  n, quicklatex.com bb4eed5d229e588b23646fa338aa36a0 l3 Muestreo , obtenida de la población de partida, tenemos:

  PARÁMETROS POBLACIONALES ESTADÍSTICOS MUESTRALES
MEDIA quicklatex.com 746e9cebd746a80d7e0456b1624750f5 l3 Muestreo quicklatex.com 1e6f7d80b926600d7f05ce0feeec1bb8 l3 Muestreo
VARIANZA quicklatex.com 07e689cf8890729e18d320dc6b25750a l3 Muestreo quicklatex.com ff58eb47ac226d70df0df431ad7e48c2 l3 Muestreo
PROPORCIÓN quicklatex.com a639cf63999ecd9852063c814e20ea00 l3 Muestreo quicklatex.com 1d0f21b840374892f9dbb5d5198fc48d l3 Muestreo

Si la población de partida no es finita utilizaremos la misma notación para designar a estos parámetros poblacionales, pero estos no pueden ser calculados a partir de muestras finitas, sino que tendremos que recurrir al cálculo de valores esperados de variables aleatorias de tipo continuo.

La estadística inferencial o inductiva consiste en utilizar un estadístico para llegar a una conclusión o inferencia sobre el parámetro poblacional correspondiente. Por ejemplo, podemos calcular la media aritmética de una muestra, recurriendo al estadístico quicklatex.com b922a6676b45545179481c07263a1125 l3 Muestreo , y utilizarlo como estimación de la media aritmética de la población quicklatex.com f77a39f40b07c4653f91763b32cc9810 l3 Muestreo; el estadístico se utiliza como estimador del parámetro.

Función de distribución empírica

La función de distribución empírica tiene las mismas propiedades que la función de distribución de la variable aleatoria, lo que implica que cuando el tamaño de la muestra crece, la gráfica de la función de distribución empírica se aproxima bastante a la de la función de distribución de la población, con lo que puede utilizarse como estimador de la misma. 
quicklatex.com 49b40e40b02e38068f45225542a0c5a3 l3 Muestreo 
Siendo quicklatex.com 137c7f0244e67348caab7b01fb71077b l3 Muestreo el número de valores observados menores o iguales que quicklatex.com 75748c51c67cdc4b61cad3587bd0f163 l3 Muestreo.

Distribución muestral de estadísticos

Es importante recordar que en el análisis estadístico tiene mucha importancia la información obtenida de una muestra representativa de la población: un director de una empresa elige una muestra representativa para determinar el grado de satisfacción que presentan los usuarios de su producto, un partido político selecciona una muestra de ciudadanos para analizar si su programa político producirá los resultados deseados, etc en estos casos los resultados obtenidos sólo son estimaciones de lo que ocurre en toda la población. El valor del estadístico es aleatorio porque depende de los elementos elegidos en la muestra seleccionada y, por lo tanto, el estadístico tiene una distribución de probabilidad la cual llamamos Distribución Muestral del Estadístico. Esta distribución dependerá del tamaño de la muestra, luego podemos decir que existe diferencia entre la distribución de la población de la cual se ha tomado la muestra y la distribución de alguna función de esa muestra.

La distribución muestral de un estadístico se puede obtener tomando todas las posibles muestras de la población de un tamaño fijado n calculando el valor del estadístico para cada una de las muestras y construyendo la distribución de estos valores. Como para cualquier distribución, las dos medidas fundamentales son la media y la desviación típica, también denominada error típico.

En esta asignatura estudiaremos las distribuciones muestrales del los estadísticos media, varianza y proporción muestral, pues son de bastante utilidad en diferentes aplicaciones estadísticas.

Distribución muestral del estadístico media muestral

    Cuando se conoce la varianza poblacional

    Si tenemos una muestra aleatoria de tamaño n procedente de una población con distribución normal quicklatex.com 6b3df91ce6623955ad4ff670bee538fd l3 Muestreo entonces la distribución del estadístico media muestral será:
    quicklatex.com d2fb0b6114fb0a05b62b9fcde955932c l3 Muestreo  , si tipificamos quicklatex.com bee0e48060935cf3de5f208b64383afa l3 Muestreo
    Si la distribución no es normal, basta que quicklatex.com 186cbbf29e6b8de922c674cfa4eb6729 l3 Muestreo para que la media muestral siga una distribución normal, por el Teorema Central del Límite.

    Cuando no se conoce la varianza poblacional

    Calculamos la varianza muestral y la usamos como varianza poblacional (cuasi varianza)

    quicklatex.com e634dfcc317c48f6fc700f474b164141 l3 Muestreo

    quicklatex.com 092740ba0605fcd5aa355d7212ac0005 l3 Muestreo

    Distribución muestral del estadístico varianza muestral

    A partir de la definición de la cuasivarianza muestral, obtenemos:

    Cuando no se conoce la media poblacional.

    quicklatex.com 19ae6910a513accedb457ee25316247b l3 Muestreo

    Cuando se conoce la media poblacional.

    quicklatex.com c119ccce9b580a2481bd70b3b6f0ad42 l3 Muestreo
    Estos estadísticos son independientes. Recordar que los grados de libertad, son los números de variables que integran, en este caso, el estadístico.

    Distribución muestral del estadístico proporción muestral

    Sea una muestra aleatoria simple de tamaño n procedente de una población con distribución B(1, p)
    quicklatex.com 49d8160768ce6a42099b7cbe5074d8f0 l3 Muestreo

    Si tipificamos: quicklatex.com 347bd1ceff51af958c6ed07eb0c1cdda l3 Muestreo


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