Optimización de funciones

Optimización sin restricciones

Procedimiento para encontrar los valores extremos de una función objetivo con dos variables de elección.

Extremos absolutos:

Sea quicklatex.com 15a1b63237783bd8752b8cf75c47dd8c l3 Optimización de funciones una función continua con dos variables, definida en un conjunto D cerrado y acotado del plano OXY,

  • Existe al menos un punto quicklatex.com 4bb673f81ec891e629823110cca92652 l3 Optimización de funciones en D donde f alcanza un máximo absoluto, cumpliéndose que:
    quicklatex.com 1e7819950aee5ebb26393c20b0d3c097 l3 Optimización de funciones
  • Existe al menos un punto quicklatex.com 4bb673f81ec891e629823110cca92652 l3 Optimización de funciones en D donde f alcanza un mínimo absoluto, cumpliéndose que:
    quicklatex.com 18c414e51c3962ba10720908f7392499 l3 Optimización de funciones
Extremos relativos:

Sea quicklatex.com 15a1b63237783bd8752b8cf75c47dd8c l3 Optimización de funciones una función continua de dos variables, definida en un conjunto D que contiene al punto quicklatex.com 4bb673f81ec891e629823110cca92652 l3 Optimización de funciones

  • La función f tiene un máximo relativo en el punto quicklatex.com 4bb673f81ec891e629823110cca92652 l3 Optimización de funciones si quicklatex.com 9ac80876a9880e41cf66ed118fb788d4 l3 Optimización de funciones
  • La función f tiene un mínimo relativo en el punto quicklatex.com 4bb673f81ec891e629823110cca92652 l3 Optimización de funciones si quicklatex.com 8bd73f9691cc5c67f80488a0be8452e5 l3 Optimización de funciones

siendo quicklatex.com ca0ec35f3bf26361386cbb9337196a0d l3 Optimización de funciones los que están en el entorno que contiene a quicklatex.com 4bb673f81ec891e629823110cca92652 l3 Optimización de funciones

Condición necesaria o de primer orden:

Dada la función quicklatex.com 277fd2ba1e1de1c8faa2c9ad1d8265cf l3 Optimización de funciones la condición necesaria de primer orden para obtener un extremo exige que:

quicklatex.com 31a410dd090198f5237e89a2fc14646a l3 Optimización de funciones

dado que:

quicklatex.com 10731601c1e5e51d21fb3d3cd9865d5e l3 Optimización de funciones

entonces:

quicklatex.com 6bbd29bc89c3870569252c7b6e60c8fb l3 Optimización de funciones para valores arbitrarios de dx y dy ambos no nulos.

La condición de primer orden es condición necesaria, pero no suficiente.

Condición suficiente o de segundo orden:

Para la existencia de un máximo o mínimo relativo requiere que quicklatex.com d7f205e46e321513510ebeb065dfa71c l3 Optimización de funciones

  • Si quicklatex.com adc73946530640fbeea42ef6ec6aa053 l3 Optimización de funciones tendremos un máximo relativo.
  • Si quicklatex.com 07403e753d5731f64c5113243e5420cd l3 Optimización de funciones tendremos un mínimo relativo.

para valores arbitrarios de dx y dy, ambos no nulos.

Procedimiento práctico para la obtención de extremos:
  1. Obtener las derivadas parciales primeras.
  2. Igualar a 0 las derivadas parciales primeras, y resolver el sistema, hallando así los puntos críticos de la función.
  3. Hallar las derivadas parciales segundas, para así obtener el determinante Hessiano.
  4. Particularizamos el Hessiano para cada uno de los puntos.
    • Si quicklatex.com 31532eb4089dcfb3257f6360ad56e895 l3 Optimización de funciones Existe extremo.
    • Si quicklatex.com 7023810afdeea7bbee79a37d2b20adc3 l3 Optimización de funciones Caso indeterminado.
    • Si quicklatex.com 2ec24fad1a3f54c70a9d109386f8c259 l3 Optimización de funciones Punto de Silla.
  5. Cuando el Hessiano sea mayor de cero, es decir, el punto analizado sea extremo, observamos el signo de la segunda derivada de z con respecto a x:
    • Si quicklatex.com 6bd6cb577501ac8297689f22f8b8cad5 l3 Optimización de funcionesExiste un máximo en quicklatex.com 3d525c6861bfc8e133c2a5bc536ec03c l3 Optimización de funciones
    • Si quicklatex.com 7dded9d15e5746c52884a9bb4129478a l3 Optimización de funcionesExiste un mínimo en quicklatex.com 3d525c6861bfc8e133c2a5bc536ec03c l3 Optimización de funciones
  6. Cada valor extremo obtenido, se sustituye en la función quicklatex.com 277fd2ba1e1de1c8faa2c9ad1d8265cf l3 Optimización de funciones dada. Así obtenemos el valor de la coordenada z en el extremo.
Extremos relativos de funciones implícitas

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Optimización con restricciones de igualdad

Optimizar la función objetivo quicklatex.com 7c4bd7c317a4eacb80eb2b1e5657f5d0 l3 Optimización de funciones de n variables en la existen m restricciones (m<n)

quicklatex.com 1108066ef09aebb6bd8450125931f8d8 l3 Optimización de funciones siendo quicklatex.com 4865be1d8ace5c10aaed11a603d982c3 l3 Optimización de funciones valores constantes.

Método de sustitución

Si…

  • …la función objetivo quicklatex.com 4abf4a5b543e5f135edb82ca01fdc744 l3 Optimización de funciones y las restricciones quicklatex.com efe526fd4dd8822057edc64e472dc919 l3 Optimización de funciones admiten derivadas parciales primeras en el dominio quicklatex.com b10bc8565254e6a066f17886c8c80ca2 l3 Optimización de funciones en el que están definidas.
  • …las restricciones quicklatex.com efe526fd4dd8822057edc64e472dc919 l3 Optimización de funciones son independientes.

entonces, el sistema formado por las m ecuaciones de restricción nos permiten exponer m de las n variables en función de las m-n restantes:

quicklatex.com 8c78bd89f23b6c9a6b23c254c781bc27 l3 Optimización de funciones

lo equivale a optimizar:

quicklatex.com 388db088973448511d7ff5199ab6f708 l3 Optimización de funciones, donde quicklatex.com 441b8e08e043deac7ca76270a22c8613 l3 Optimización de funciones

Método de multiplicadores de Lagrange

Dada la función quicklatex.com 277fd2ba1e1de1c8faa2c9ad1d8265cf l3 Optimización de funciones con la restricción quicklatex.com 65a3a6035ee6677c918b7b63c776a502 l3 Optimización de funciones, donde b es una constante, al diferenciar la función objetivo y la restricción se tiene que:

quicklatex.com 0f44bbf62fabe892fa24aa156bf89700 l3 Optimización de funciones

lagrange Optimización de funciones

entonces:

El símbolo quicklatex.com 0205af168a4cc43ea2f9cb2d9559fe4b l3 Optimización de funciones es un número aún indeterminado y se llama multiplicador de Lagrange.

En los puntos en que la función tenga un extremo quicklatex.com 31a410dd090198f5237e89a2fc14646a l3 Optimización de funciones, entonces obtenemos quicklatex.com 0205af168a4cc43ea2f9cb2d9559fe4b l3 Optimización de funciones resolviendo el siguiente sistema:

lagrange2 Optimización de funciones

 

Función de Lagrange o lagrangiana

quicklatex.com ffcc19b5cc7c75e61ca02568bdbb605a l3 Optimización de funciones

Condición necesaria para obtener extremos relativos

lagrange3 Optimización de funciones

Condición suficiente de óptimo a través del hessiano orlado

Si llamamos Hessiano Orlado a:

quicklatex.com 5a07c1c5f35b910aef3ca8b62cb532f4 l3 Optimización de funciones

Existirá un máximo si es mayor que cero y un mínimo se es menor que cero.

Condición suficiente de óptimo a través del estudio de la forma cuadrática de la segunda derivada de la función lagrangiana

Si su forma cuadrática es:

  • Positiva: Mínimo relativo
  • Negativa: Máximo relativo
  • Indefinida: Ni máximo, ni mínimo
  • Semidefinida: Caso dudoso
Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores de Lagrange equivalen a las derivadas parciales, y en economía se utilizan para valorar el término marginal. Por ello, los multiplicadores de Lagrange pueden interpretarse como cambios marginales (rentabilidad marginal, precio sombra, utilidad marginal, coste marginal …)


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