Optimización de funciones

Optimización sin restricciones

Procedimiento para encontrar los valores extremos de una función objetivo con dos variables de elección.

Extremos absolutos:

Sea una función continua con dos variables, definida en un conjunto D cerrado y acotado del plano OXY,

• Existe al menos un punto en D donde f alcanza un máximo absoluto, cumpliéndose que:
  
• Existe al menos un punto en D donde f alcanza un mínimo absoluto, cumpliéndose que:
  

Extremos relativos:

Sea una función continua de dos variables, definida en un conjunto D que contiene al punto

• La función f tiene un máximo relativo en el punto si
• La función f tiene un mínimo relativo en el punto si latex f(x_0,y_0)leq f(x,y)$

siendo los que están en el entorno que contiene a

Condición necesaria o de primer orden:

Dada la función la condición necesaria de primer orden para obtener un extremo exige que:

dado que:

entonces:

La condición de primer orden es condición necesaria, pero no suficiente.

Condición suficiente o de segundo orden:

Para la existencia de un máximo o mínimo relativo requiere que

• Si tendremos un máximo relativo.
• Si tendremos un mínimo relativo.

para valores arbitrarios de dx y dy, ambos no nulos.

Procedimiento práctico para la obtención de extremos:

1. Obtener las derivadas parciales primeras.
2. Igualar a 0 las derivadas parciales primeras, y resolver el sistema, hallando así los puntos críticos de la función.
3. Hallar las derivadas parciales segundas, para así obtener el determinante Hessiano.
4. Particularizamos el Hessiano para cada uno de los puntos.
   • Si Existe extremo.
   • Si Caso indeterminado.
   • Si Punto de Silla.
5. Cuando el Hessiano sea mayor de cero, es decir, el punto analizado sea extremo, observamos el signo de la segunda derivada de z con respecto a x:
   • Si Existe un máximo en
   • Si Existe un mínimo en
6. Cada valor extremo obtenido, se sustituye en la función dada. Así obtenemos el valor de la coordenada z en el extremo.

Extremos relativos de funciones implícitas

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Optimización con restricciones de igualdad

Optimizar la función objetivo de n variables en la existen m restricciones (m<n)

Método de sustitución

Si…

• …la función objetivo y las restricciones admiten derivadas parciales primeras en el dominio en el que están definidas.
• …las restricciones son independientes.

entonces, el sistema formado por las m ecuaciones de restricción nos permiten exponer m de las n variables en función de las m-n restantes:

lo equivale a optimizar:

Método de multiplicadores de Lagrange

Dada la función con la restricción , donde b es una constante, al diferenciar la función objetivo y la restricción se tiene que:

entonces:

El símbolo es un número aún indeterminado y se llama multiplicador de Lagrange.

En los puntos en que la función tenga un extremo , entonces obtenemos resolviendo el siguiente sistema:

Función de Lagrange o lagrangiana

Condición necesaria para obtener extremos relativos

Condición suficiente de óptimo a través del hessiano orlado

Si llamamos Hessiano Orlado a:

Existirá un máximo si es mayor que cero y un mínimo se es menor que cero.

Condición suficiente de óptimo a través del estudio de la forma cuadrática de la segunda derivada de la función lagrangiana

Si su forma cuadrática es:

• Positiva: Mínimo relativo
• Negativa: Máximo relativo
• Indefinida: Ni máximo, ni mínimo
• Semidefinida: Caso dudoso

Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores de Lagrange equivalen a las derivadas parciales, y en economía se utilizan para valorar el término marginal. Por ello, los multiplicadores de Lagrange pueden interpretarse como cambios marginales (rentabilidad marginal, precio sombra, utilidad marginal, coste marginal …)

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