El modelo del repartidor de periódicos

El problema

Este modelo de un solo periodo, que sirve de base a otros más complejos de control de inventarios, ilustra el problema de un repartidor de periódicos que se enfrenta a una demanda aleatoria. El vendedor debe determinar la cantidad quicklatex.com c473eda52a6d4b0d720571418a32c1d5 l3 El modelo del repartidor de periódicos de periódicos que va a pedir al inicio del periodo de forma que haga mínimos sus costes esperados que pueden ser, bien por haber pedido en exceso, o bien por no haber pedido suficientes.

La demanda quicklatex.com a1a17aa0a0077a860e9e7390b5a34eb4 l3 El modelo del repartidor de periódicos es una variable aleatoria continua y no negativa, con media quicklatex.com f77a39f40b07c4653f91763b32cc9810 l3 El modelo del repartidor de periódicos y varianza quicklatex.com 45321d2a03497cb76c0d2d8da9e015c3 l3 El modelo del repartidor de periódicos, cuya función de distribución acumulada es

    quicklatex.com fcf94418a69d138cd979f9f5c704fc06 l3 El modelo del repartidor de periódicos

, y su función de densidad,

    quicklatex.com 66d46a133f97aa0d9a7f4e445ae8322b l3 El modelo del repartidor de periódicos

La función del coste

A no ser que el vendedor acierte en pedir tantos periódicos como efectivamente su demanda le solicite, pueden surgir dos situaciones diferentes,

  • Que al final del periodo le sobren periódicos, es decir quicklatex.com 188f2b11f0c6ceb74d0e32cd2a777ba9 l3 El modelo del repartidor de periódicos, en cuyo caso perderá el importe pagado por los mismos o al menos una parte si le devuelven algo. Sea quicklatex.com 9719788bf3aa6a7a84be7c3c4424dd9f l3 El modelo del repartidor de periódicos es el coste de un periódico y quicklatex.com b6cc177a434d14c30a808a16498fa073 l3 El modelo del repartidor de periódicos el valor recuperable, entonces el coste de sobrantes será quicklatex.com c6f49a8e805d9f88ed9342e604421891 l3 El modelo del repartidor de periódicos
  • Que no haya tenido suficientes periódicos para satisfacer su demanda, es decir, quicklatex.com f6e6e0709aadd1d8aa2693234e2c22b6 l3 El modelo del repartidor de periódicos. En este caso se considera como coste el importe que ha dejado de ganar debido a la demanda insatisfecha. Sea quicklatex.com 1e82b27d96542009eeb826470c39b594 l3 El modelo del repartidor de periódicos el precio de venta de un periódico, el coste de faltantes es quicklatex.com baf3d3c0e70d87300dc90e77b80aa16b l3 El modelo del repartidor de periódicos

Si definimos la cantidad sobrante como quicklatex.com 7bc56899b1a131bc2d8f35b355d52b21 l3 El modelo del repartidor de periódicos y la cantidad faltante como quicklatex.com c6e351f0974fc4b8c878bed72f5edc87 l3 El modelo del repartidor de periódicos, el coste total será,

(1)   quicklatex.com a7dc93a6b6aeb3666d4b533312cc7382 l3 El modelo del repartidor de periódicos

La función del coste esperado

El valor esperado de D, al ser una variable aleatoria continía y no negativa, es,

    quicklatex.com ef6fd900b0dc28cbb91dfa95893741ac l3 El modelo del repartidor de periódicos

Nos será útil recordar de Probabilidad que el área completa bajo una función de densidad quicklatex.com 2666dc2ec04ad17011aac7a07961e9a2 l3 El modelo del repartidor de periódicos es quicklatex.com edafd437bbfc716289322914e5edc740 l3 El modelo del repartidor de periódicos. En nuestro caso,

    quicklatex.com 1e507d42fac04519dda19158eccedc59 l3 El modelo del repartidor de periódicos

Sea para abreviar, quicklatex.com eb1ac36f4b42b3c08f75fca75079ed14 l3 El modelo del repartidor de periódicos, entonces,

(2)   quicklatex.com 5ff3e30ceaf0722f6956f5ab41622150 l3 El modelo del repartidor de periódicos

La optimización

Nuestro objetivo ahora es encontrar un valor quicklatex.com 71364159f82d23354e8dc3dde3f12a9d l3 El modelo del repartidor de periódicos que minimice el coste esperado, por lo que derivamos esta función dos veces,

    quicklatex.com 974fb0254a35986d57fba83f3119fc83 l3 El modelo del repartidor de periódicos

Al ser la segunda derivada positiva, G(Q) es una función convexa cuyo punto crítico resulta ser el mínimo que estamos buscando. Para encontrarlo, igualamos la primera derivada a cero y despejamos quicklatex.com f6f3d53f2b8ad4f9a3f4cc7c48e956fd l3 El modelo del repartidor de periódicos con quicklatex.com 921acdc491fa629d418232ab4df0a40f l3 El modelo del repartidor de periódicos,

    quicklatex.com 3fccac9a604d29d0cdf342a3b32248c1 l3 El modelo del repartidor de periódicos

El valor de quicklatex.com b7104b6910f4c684ff9d91c2d379bd18 l3 El modelo del repartidor de periódicos, denominado en este contexto como la razón crítica, se interpreta como la probabilidad de satisfacer toda la demanda durante el periodo pidiendo quicklatex.com 71364159f82d23354e8dc3dde3f12a9d l3 El modelo del repartidor de periódicos al inicio del mismo.

Finalmente determinamos,

    quicklatex.com b950c96ce773a6352c62f9ee6df8322b l3 El modelo del repartidor de periódicos


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