Variables aleatorias y sus distribuciones

Variable Aleatoria Unidimimensional

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral.

Podemos encontrar variables aleatorias de dos tipos: Discretas y Continuas

Decimos que una variable aleatoria es discreta si toma un número finito o infinito, pero numerable de valores.

Será continua si puede tomar un número infinito no numerable de valores, o tomar valores en uno o más intervalos de la recta real.

Variables aleatorias discretas

Distribución de probabilidad, función de probabilidad o función de cuantía

Es una función que llamaremos P(x) y que asigna las probabilidades con la que la variable aleatoria toma los posibles valores, de tal forma que las probabilidades verifiquen:

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Por lo tanto, la probabilidad no puede ser negativa y para todos los valores posibles los sucesos son excluyentes y exhaustivos (significa que de todos ellos sólo debe ocurrir y no pueden ocurrir dos de forma simultánea.)

Función de distribución

Una variable aleatoria queda definida cuando conocemos su campo de variación y el conjunto de probabilidades con que toma valores en ese campo. La probabilidad del suceso quicklatex.com 366846531a1ea7a517fbd0296ebaf4df l3 Variables aleatorias y sus distribuciones recibe el nombre de función de distribución de la variable aleatoria y la denominamos quicklatex.com e3ae899794119cc1a60ef12f396f6c48 l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

La función de distribución, por definición, no puede ser negariva, al ser una probabilidad, ni decreciente, ya que es acumulativa. Además, por ser una probabilidad, está acotada quicklatex.com cd8c2e0a2718645d6cbd28cea674a264 l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

  • Propiedades
    • quicklatex.com 1e1d5a2c8727ff49169ca5722b928ab3 l3 Variables aleatorias y sus distribuciones
    • quicklatex.com 0f61ac58d434425d8e1ebade6dab64af l3 Variables aleatorias y sus distribuciones
    • La función es monótona no decreciente.
    • La función es continua por la derecha.

Variables aleatorias continuas

Función de densidad

Si X es una variable aleatoria de tipo continuo y se verifica:

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diremos que f(x) es la función de densidad de la variable aleatoria continua.

Gráficamente, representa la curva límite correspondiente al histograma de frecuencias relativas.

En el caso continuo, la suma de densidades de probabilidad o área bajo la curva f(x) es igual a la unidad.

Como en el caso continuo no existen las probabilidades puntuales quicklatex.com 9cd85388476dca71b51ad7ae5046ee9e l3 Variables aleatorias y sus distribuciones, entonces, quicklatex.com 30bc5b9fd3d6c11e49b2d80ad7a69d07 l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

Función de distribución

quicklatex.com 63597a81a3f5258e5f129ec01a13c1af l3 Variables aleatorias y sus distribuciones y representa el área limitada por la curva función de densidad y a la izquierda de la recta quicklatex.com 9e0854984daefa7589dae2a157cf7c8b l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

La función de distribución conduce a la probabilidad a través de una longitud, mientras que si utilizamos la función de densidad, el valor es el mismo pero expresado como un área.

Función simétrica

Se dice que una distribución es simétrica respecto de un punto C se se verifica: quicklatex.com cc4b5db5fb9d24c240f4c7f49c8c9a83 l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

Diremos que es simétrica respecto del punto cero si: quicklatex.com 372bf3545a85439dcda0a01a1f3cb34f l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

Variable Aleatoria Bidimensional

Distribución de probabilidad bidimensional

Podemos encontrarnos con los dos casos ya mencionados, discretos y continuos.

En el caso discreto:
  • Distribución de probabilidad conjunta

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  • Función de probabilidad conjunta

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En el caso continuo
  • Función de densidad bidimensional

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quicklatex.com cebc7df1f69f820f8d979160831d84ab l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

  • Función de distribución bidimensional

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Distribuciones Marginales

Cuando queremos conocer por separado la distribución de alguna o de ambas variables partiendo de la información que nos da la distribución conjunta.

En el caso discreto:
  • Distribución de probabilidad marginal

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  • Distribución de distribución marginal

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En el caso continuo
  • Función de densidad marginal

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quicklatex.com 23e1bb91ff0611393b84e46420d8b717 l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

  • Función de distribución marginal

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quicklatex.com fd3e1d8c90f546265bb9a0d0ddbe77d7 l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

Distribuciones condicionadas

Cuando nos interesa conocer como se distribuye una de las variables cuando se imponen condiciones a la otra.

En el caso discreto
  • Distribución de probabilidad condicionada

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siempre que quicklatex.com ee59c10ff4e36d29a530707795600fc6 l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

  • Función de distribución condicionada

quicklatex.com 12bd942543cd58e923d431803029d054 l3 Variables aleatorias y sus distribuciones

En el caso continuo
  • Función de densidad condicionada

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  • Función de distribución condicionada

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Independencia de variables aleatorias

Se dice que dos variables aleatorias son independientes si y sólo si se verifica que la función de distribución conjunta es igual al producto de sus distribuciones marginales:

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En el caso discreto

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En el caso continuo

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