Variables aleatorias y sus distribuciones

Por Antonio Martinez el 21/10/2009 en 20:38 en Estadistica٬ Estadistica II

Variable Aleatoria Unidimimensional

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral.

Podemos encontrar variables aleatorias de dos tipos: Discretas y Continuas

Decimos que una variable aleatoria es discreta si toma un número finito o infinito, pero numerable de valores.

Será continua si puede tomar un número infinito no numerable de valores, o tomar valores en uno o más intervalos de la recta real.

Variables aleatorias discretas

Distribución de probabilidad, función de probabilidad o función de cuantía

Es una función que llamaremos P(x) y que asigna las probabilidades con la que la variable aleatoria toma los posibles valores, de tal forma que las probabilidades verifiquen:

0\leq P(x_i)\leq 1

i=1,2,3,\cdots ,r

\displaystyle\sum_{i=1}^r P(x_i)=1

Por lo tanto, la probabilidad no puede ser negativa y para todos los valores posibles los sucesos son excluyentes y exhaustivos (significa que de todos ellos sólo debe ocurrir y no pueden ocurrir dos de forma simultánea.)

Función de distribución

Una variable aleatoria queda definida cuando conocemos su campo de variación y el conjunto de probabilidades con que toma valores en ese campo. La probabilidad del suceso X\in (-\infty ;x] recibe el nombre de función de distribución de la variable aleatoria y la denominamos F(x)=P(X\leq x)

La función de distribución, por definición, no puede ser negariva, al ser una probabilidad, ni decreciente, ya que es acumulativa. Además, por ser una probabilidad, está acotada 0\leq F(x)\leq 1

  • Propiedades
    • F(-\infty )=0 \quad ; \quad F(+\infty)=1
    • F(x_1\leq X\leq x_2)=F(x_2)-F(x_1)
    • La función es monótona no decreciente.
    • La función es continua por la derecha.

Variables aleatorias continuas

Función de densidad

Si X es una variable aleatoria de tipo continuo y se verifica:

f(x)\geq0 \quad \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1

diremos que f(x) es la función de densidad de la variable aleatoria continua.

Gráficamente, representa la curva límite correspondiente al histograma de frecuencias relativas.

En el caso continuo, la suma de densidades de probabilidad o área bajo la curva f(x) es igual a la unidad.

Como en el caso continuo no existen las probabilidades puntuales P(X=a)=0, entonces, P(a\leq X\leq b)=P(a<x<b)

Función de distribución

F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^x f(x)dx y representa el área limitada por la curva función de densidad y a la izquierda de la recta X=x

La función de distribución conduce a la probabilidad a través de una longitud, mientras que si utilizamos la función de densidad, el valor es el mismo pero expresado como un área.

Función simétrica

Se dice que una distribución es simétrica respecto de un punto C se se verifica: P(x\leq c-x)=P(x\geq c+x)\forall x

Diremos que es simétrica respecto del punto cero si: f(x)=f(-x)

Variable Aleatoria Bidimensional

Distribución de probabilidad bidimensional

Podemos encontrarnos con los dos casos ya mencionados, discretos y continuos.

En el caso discreto:
  • Distribución de probabilidad conjunta

0\leq P(x,y)\leq 1\quad\displaystyle\sum_1^r\sum_1^s P(x_i,y_j)=1

  • Función de probabilidad conjunta

F(x,y)P(X\leq x;Y\leq y)=\displaystyle\sum\sum P(X=x_i;Y=y_j)

En el caso continuo
  • Función de densidad bidimensional

f(x,y)\geq 0 \quad -\infty <x<+\infty \; ;\; -\infty <y<+\infty

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dxdy=1

  • Función de distribución bidimensional

F(x,y)=P(X\leq x ; Y\leq y)=\displaystyle\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(x,y)dxdy

Distribuciones Marginales

Cuando queremos conocer por separado la distribución de alguna o de ambas variables partiendo de la información que nos da la distribución conjunta.

En el caso discreto:
  • Distribución de probabilidad marginal

P_{i\cdot}=P(x_i)=\displaystyle\sum_{y_j}P(X=x_i;Y=y_j)

P_{\cdot j}=P(y_i)=\displaystyle\sum_{x_i}P(X=x_i;Y=y_j)

  • Distribución de distribución marginal

F_1(x)=P(X\leq x ;Y<\infty )=\displaystyle\sum P_{i\cdot}

F_2(y)=P(X<\infty ; Y\leq y)=\displaystyle\sum P_(\cdot j)

En el caso continuo
  • Función de densidad marginal

f_1(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy

f_2(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx

  • Función de distribución marginal

F_1(x)=\displaystyle\int_{\infty}^x f_1(x)dx

F_2(y)=\displaystyle\int_{\infty}^y f_1(y)dy

Distribuciones condicionadas

Cuando nos interesa conocer como se distribuye una de las variables cuando se imponen condiciones a la otra.

En el caso discreto
  • Distribución de probabilidad condicionada

P(x/y)=P(X=x/Y=y)=\dfrac{P(X=x;Y=y)}{P(Y=y)}=\dfrac{P_{ij}}{P_{\cdot j}}

siempre que P(Y=y)>0

  • Función de distribución condicionada

F(x/y)=P(\dfrac{X\leq y}{Y\leq y})=\dfrac{\displaystyle\sum P(X=x;Y=y)}{P(Y=y)}

En el caso continuo
  • Función de densidad condicionada

f(x/y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{f(x,y)}{f_2(y)} & \rightarrow f_2(y)>0 \\ 0 \mbox{ en el resto}& \end{matrix}\right .

f(y/x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{f(x,y)}{f_1(x)} & \rightarrow f_1(x)>0 \\ 0 \mbox{ en el resto}& \end{matrix}\right .

  • Función de distribución condicionada

F(x/y)=\displaystyle\int_{-\infty}^x f(x/y)dx=\dfrac{\int_{-\infty}^x f(x,y)dx}{f_2(y)}

F(y/x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x f(y/x)dy=\dfrac{\int_{-\infty}^y f(x,y)dy}{f_1(x)}

Independencia de variables aleatorias

Se dice que dos variables aleatorias son independientes si y sólo si se verifica que la función de distribución conjunta es igual al producto de sus distribuciones marginales:

F(x,y)=F_1(x)\cdot F_2(y)

En el caso discreto

P(x,y)=P(x_i)=P(x_i)\cdot P(y_j)

En el caso continuo

f(x,y)=f_1(x)\cdot f_2(y)

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