Ciencias Empresariales Uned

Multicolinealidad

por Antonio Martinez en Econometría

Cuando hay una relación lineal exacta entre las variables explicativas X incluidas en una regresión múltiple, se dice, que existe multicolinealidad.

En los casos de relaciones lineales perfectas, o multicolinealidad perfecta, entre variables explicativas, no podemos obtener estimaciones únicas de todos los parámetros. Y, puesto que no podemos obtener sus estimaciones únicas, no podemos extraer ninguna inferencia estadística sobre las estimaciones lineales a partir de determinada muestra.

El caso de multicolinealidad perfecta es muy infrecuente, sin embargo, es más habitual los casos de casi multicolinealidad o multicolinealidad imperfecta. A partir de ahora, consideramos el concepto de multicolinealidad como multicolinealidad imperfecta.

Consecuencias teóricas de la multicolinealidad

Con multicolinealidad los estimadores MCO son insesgados. Pero la insesgadez es una propiedad de muestras repetidas.
La casi colinealidad no destruye la propiedad de varianza mínima de los estimadores MCO, sin embargo, la varianza mínima no significa que el valor numérico de la varianza sea pequeño.
La multicolinealidad es esencialmente un fenómeno muestral.

Consecuencias prácticas de la multicolinealidad

Grandes varianzas y errores estándar de los estimadores MCO
Mayores intervalos de confianza
Ratios t insignificativos
Un elevado R² pero pocas ratios t significativas
Los estimadores MCO y sus errores estándar se hacen muy sensibles a las pequeñas variaciones en los datos, es decir, tienden a ser inestables.
Signos equivocados en los coeficientes de la regresión
Dificultad para valorar las contribuciones individuales de las variables explicativas a la suma explicada o a R²

Detección de la multicolinealidad

La multicolinealidad es una cuestión de grados y es un fenómeno específico de la muestra. Para detectar la multicolinealidad no hacemos pruebas, lo que tenemos son unos indicadores sobre la existencia de multicolinealiadad. Algunos de estos indicadores son:

Elevado R² y pocas ratios t significativas
Elevadas correlaciones por pares entre las variables explicativas
Examen de las correlaciones parciales
Regresiones auxiliares o subsidiarias
El factor de inflación de la varianza

Medidas correctivas

Si la muestra en concreto es problemática, no hay mucho que hacer. De todas formas existen varios remedios al problema:

Eliminación de una o varias variables del modelo: Puede parecer la solución más sencilla, sin embargo, puede generar un error de especificación del modelo. No se debe eliminar una variable de un modelo econométrico viable, sólo porque el problema de colinealidad sea grave.
Recopilación de datos adicionales o de una nueva muestra: Siempre que sea posible, la obtención de una nueva muestra o ampliar la muestra obteniendo datos adicionales, puede reducir la gravedad de la multicolinealidad.
Replanteamiento del modelo: Es posible que se hayan omitido algunas variables importantes o tal vez se haya elegido incorrectamente la forma funcional del modelo.
Información anterior sobre algunos parámetros: Es posible que de estudios anteriores obtengamos cierto conocimiento sobre los valores de uno o más parámetros, pero debemos suponer que la información anterior sigue cumpliéndose en la muestra que estamos estudiando.
Transformación de variables: En ocasiones la transformación de las varables incluidas en el modelo puede minimizar, incluso resolver, el problema de la colinealidad, aunque no hay garantías de que esto siempre resulte útil.

Otras soluciones:

Combinación de datos de series temporales y de sección cruzada
Análisis de factores o componentes principales
Regresión de protuberancias

La solución de los problemas de provisión de Bienes Públicos a Nivel Nacional

por Antonio Martinez en Política Económica

La clasificación de los problemas de acción colectiva en una categoría u otra depende fundamentalmente de:

La tecnología de provisión
Las reglas institucionales o constitutivas del juego
Las dotaciones entre los miembros del colectivo
Los costes de transacción, si se tiene en cuenta el tamaño del colectivo.

Mecanismos pro-cooperativos

En general, ni la tecnología de provisión, ni las reglas institucionales, ni las preferencias de los miembros, pueden ser modificadas para fomentar la adopción de estrategias cooperativas.

Sin embargo, es posible…:

mejorar la distribución de los recursos para favorecer la emergencia de grupos privilegiados
mejorar la información para alterar la ordenación de las preferencias
introducir modificaciones en las reglas no esenciales del juego (sanciones o premios), para motivar la elección de la actuación coordinada.

Estas medidas que reducen o eliminan los incentivos para preferir soluciones no coordinadas, se les conoce como "enforcement mechanisms", o mecanismos pro-cooperativos o favorecedores de la cooperación.

Los mecanismos pro-cooperativos, considerados en sí mismos, son un bien público puro, ya que proporciona beneficios no exclusivos y no rivales. La introducción de mecanismos pro-cooperativos como solución privada tiene la dificultad de que se enfrenta a su propio Dilema del Prisionero. P.ej: Caso del desarrollo de la bomba nuclear por Corea del Norte.

La producción de mecanismos pro-cooperativos debe ser financiada sin alterar la estructura de incentivos, los recursos deben proceder de los beneficios producidos por la acción colectiva.

Los mecanismos pro-cooperativos se pueden agrupar en dos grandes categorías: Producción conjunta de beneficios públicos y privados y Diseño de estructuras institucionales.

Producción conjunta de beneficios públicos y privados:

Algunos tipos de bienes públicos producen beneficios parcialmente exclusivos, es decir, que produce beneficios parcialmente públicos (no exclusivos) y parcialmente privados (exclusivos), por lo que proporciona incentivos específicos o selectivos a algunos individuos para que se encarguen de la producción del bien público.

Si los incentivos específicos están unidos de forma natural a la producción del bien público, no podemos hablar de mecanismos pro-cooperativos, sino de situaciones cuya estructura de incentivos asegura la adopción de la estrategía cooperativa.

En ocasiones, se produce una intervención para vincular la producción de determinados bienes públicos con la obtención de beneficios privados que no estan disponibles para los "free riders", p.ej: La actividad investigadora privada, cuya provisión se garantiza gracias a los derechos de propiedad intelectual o patentes, que aseguran beneficios privados a quien investiga a la vez que el resto de la sociedad recibe los beneficios públicos.

Cuando no es posible encontrar beneficios privados que aseguren la producción de un bien público, a través de pagos compensatorios, se generan artificialmente incentivos selectivos.

La importancia de los incentivos selectivos es muy grande en el ámbito internacional.

Esta confirmado que la presencia simultánea de beneficios públicos y privados elimina la no cooperación como estrategia dominante, aumenta el nivel de provisión del bien públicos y consigue que las cargas asociadas a la producción del bien público se distribuyan de acuerdo con los beneficios privados. Además la producción de bienes públicos con incentivos específicos no cumple necesariamente el teorema de la neutralidad.

Diseño de estructuras institucionales:

Bajo este nombre se agrupan instrumentos muy variados que tienen en común la modificación del contexto institucional en el que se produce la interacción estratégica con el objetivo de eliminiar la no cooperación como estrategia dominante y promover comportamientos que faciliten soluciones cooperativas.

Instrumentos importantes del diseño institucional:

Modificación de la tecnología de producción en sentido amplio, es decir, incluyendo tanto la forma en la que los esfuerzos individuales se combinan para producir el nivel total de provisión, como la manera de raprtir los costes soportados por los que deciden cooperar.
Creación de instituciones que produzcan una estructura subyacente del juego que fomente la solución cooperativa.
Organización o estructuración interna de los colectivos: Es necesario utilizar un enfoque basado en los costes de transacción, porque la configuración de un colectivo se traduce en unos costes de transacción específicos que influyen en los beneficios que ofrece la actuación coordinada y en la probabilidad de solución de los problemas de actuación colectiva.

La organización de Clubes:

Los clubes combinan una estructura organizativa con un mecanismo de reparto de los costes de provisión del bien público en función de los benefecios que aportan a cada individuo.

Un club es un colectivo, en el cual los individual que lo componen obtienen beneficios mutuos, bien del reparto de costes de producción, bien de las características de otros miembros, o bien del disfrute de un bien público impuro con beneficios en parte exclusivos.

El caracter compartido de los bienes de club implica un método de exclusión a un coste razonable que impida la presencia de free-riders.

Ejemplos de bienes de club: Autopistas de peaje, el espectro electromagnético, los parques naturales, las alianzas militares, los canales marítimos, las uniones aduaneras, las bibliotecas…

Existe congestión o saturación cuando el consumo de los beneficios del bien público es parcialmente rival. El cobro de un peaje es suficiente para que los usuarios paguen los costes de saturación.

Un club es una solución institucional para un problema de acción colectiva que internaliza una externalidad por medio de peajes y de la restricción del número máximo de miembros. Los bienes de club pueden ser asignados eficientemente sin la necesidad de una autoridad externa.

La intervención pública

En muchos casos la incapacidad de los miembros de un colectivo en llegar a una actuación coordinada impide que se produzca el bien público o que su provisión sea insuficiente, por lo que es necesario contar con la intervención del poder público para que se encargue de su provisión o introduzca los incentivos necesarios para conseguir unas condiciones que faciliten la cooperación.

Una decisión importante con respecto a la producción de bienes públicos es determinar:

QUE bienes públicos producir
CUANTO o en que cantidad se deben producir
QUIEN lo produce, gobierno central, autonómico, local o supranacional

En algunos casos, para decidir la conveniencia de la producción, hay que estimar los beneficios derivados de la provisión y compararlos con los costes de realización, sin embargo, tiene el problema de Falta de Información…

Si la decisión se basa en las preferencias individuales, utilizando encuestas, los posibles usuarios exagerarán los beneficios para garantizar la provisión.
Los métodos alternativos para estimar los beneficios sin tener en cuenta las preferencias individuales tienen un fuerte componente discrecional, y puede ser utilizado para justificar proyectos decididos ex-ante

En otros casos, relacionados con la presencia de efectos externos derivados de actividades privadas, sin intervención, la producción puede ser insuficiente, para enfrentarse a este problema el Gobierno dispone de varios remedios:

Impuestos / Subvenciones, de forma que los agentes privados internalicen el perjuicio / beneficio causado a la sociedad
Límite o Cuota de producción de externalidades negativas
Fijar un nivel máximo de efectos negativas + Asignar unos permisos intercambiables
Asginar derechos de propiedad asociados a un entorno libre de efectos externos negativos. Más dificil, debido a costes de transacción elevados.

El Gobierno con intervención directa produce resultados óptimos desde el punto de vista social o funciona como catalizador, p.ej: facilitando las condiciones que favorecen la creación de una estructura de club.

** PERO: Un sector público intervencionista tenderá a la provisión excesiva de bienes públicos, que podrían ser producidos por el sector privado en iguales o mejores condiciones. Además la provisión de bienes públicos por parte del sector público para solucionar los fallos de mercado, sufre sus propias ineficiencias, conocidas como "fallos del sector público"

Fallos del sector público:

Las decisiones políticas no suelen revocarse aunque se compruebe que han sido perjudiciales, porque, la admisión de errores implica un alto coste político y los gastos inadeucuados debido a una mala decisión no conllevan costes personales a los políticos decisores.
Los organismos oficiales tienden a crecer, porque el tamaño esta directamente relacionado con el poder y prestigio de los dirigentes y el presupuesto disponible, por lo que el sector público suele producir bienes públicos a un coste comparativamente elevado
El proceso político es un sistema pobre de expresión de preferencias de los votantes sobre temas específicos
La teoría de la Elección Pública, indica la existencia de un ciclo político-económico, que conlleva a preferir la provisión de bienes públicos cuyos resultados a corto plazo sea elevados sin considerar los costes derivados a largo plazo.

Por tanto, la provisión de bienes públicos se enfrenta a un doble peligro: los Fallos del Mercado junto a los Fallos del Sector Público

Marco Conceptual Basico De La Política Económica

por Antonio Martinez en Política Económica

Taxonomía de las políticas económicas

En función del caracter de los instrumentos

Distinción alemana, por su orientación básica:

Políticas de ordenación: Están encaminadas a establecer o modificar el marco de actuación de la economía, en general, y el de la política económica, en particular.
Políticas de proceso: Incluyen todas aquellas actuaciones que están más directamente encaminadas a resolver los problemas y desequilibrios específicos derivados del funcionamiento / proceso de la economía. Se integran desde las políticas sectoriales hasta las políticas de ajuste.

Distinción del Prof. Jan Tinbergen, según los instrumentos utilizados:

Políticas cuantitativas: Todas aquellas modificaciones introducidas en el nivel de los instrumentos ya disponibles. Se corresponden a las políticas de proceso.
Políticas cualitativas: Son aquellas que se orientan a la introducción de cambios estructurales en la economía, aunque sin afectar a los aspectos esenciales de la organización económico-social. Muchas de estas políticas que no todas, son políticas de ordenación.
Reformas fundamentales: El fin de estas políticas es cambiar los fundamentos del sistema económico. Lo que se pretende es afectar a los aspectos o bases esenciales de la organización socioeconómica. Entran dento de la categoría de políticas de ordenación.

En función de actuación: Políticas macroeconómicas y microeconómicas

Políticas macroeconómicas: Su núcleo de actuación son los agregados y variables macroeconómicas.
Políticas microeconómicas: Su centro de atención es la toma racional de decisiones por parte de unidades económicas individuales o un conjunto delimitado de ellos.

En función de la dimensión temporal

Políticas a corto plazo, de carácter coyuntural
Políticas a medio-largo plazo, de carácter estructural

Fines generales y objetivos económicos

Fines generales: Aquellos propositos de carácter más general que una sociedad se ha porpuesto alcanzar.
Objetivos económicos: u Objetivos Puros de política económica, son los que están más ligados al bienestar económico general, son cinco: El crecimiento económico, El pleno empleo, La estabilidad de precios, El equilibrio de la balanza de pagos, Distribución equitativa de la renta y riqueza
Objetivos sociales: Todos aquellos que no son propiamente económicos, por una parte se orientan a mejorar o preservar el bienestar social y por otra absorben una parte importante de los recursos económicos de la nación.
Cuasi-objetivos: Son variables intermedias que a veces se confunden con objetivos, son medios para lograr los objetivos más relevantes.

Los cinco objetivos básicos de la política económica

El crecimiento económico
El logro de un pleno empleo
La estabilidad de precios
Un equilibrio de la balanza de pagos
Una distribución más equitativa de la renta y la riqueza

Los ocho objetivos básicos de la política económica, según Kirschen

Objetivos principlamente a corto plazo (coyunturales)

Estabilidad de precios
Pleno empleo
- Objetivos esencialmente a largo plazo
Expansión de la producción (crecimiento)
Mejora de la distribución o redistribución de la renta
Reducción ed las disparidades regionales
Desarrollo de ramas productivas específicas
Aumento del tiempo de ocio (reducción de las horas de trabajo)
- Objetivos demográficos
Mejora del tamaño y de la estructura de la población

Los conflictos entre objetivos

Posibilidades teóricas de interrelación entre objetivos

Existencia de conflictos de carácter fundamental
Existencia de relaciones de complemetariedad entre objetivos
Independencia entre objetivos

Conflictos entre objetivos a corto y a medio/largo plazo

Conflictos entre objetivos económicos y objetivos sociales

Instrumentos

Concepto: Los instrumentos son todas aquellas variables que los policy-makers pueden utilizar para tratar de alcanzar los objetivos fijados para una determinada política económica. Un instrumento es un parámetro que puede ser controlado por las autoridades económicas.

Tipos:

Los instrumentos monetarios y crediticios (Política monetaria)
Los instrumentos tributarios y del gasto público (Política fiscal)
Los instrumentos comerciales y de cambio
Los controles y regulaciones directas
La política de rentas
Los cambios institucionales
Otras medidas de política macroeconómica

Propuesta de integración de los objetivos y las políticas

El enfoque interdependiente de la política económica, es decir, considerando las interrelaciones que existen entre las distintas políticas (comercial, monetaria, fiscal…) puede abordarse desde dos vías diferentes:

Política Económica Cuantitativa: Busca políticas económicas óptimas por medio de modelos econométricos, aunque desde un punto de vista práctica sus resultados no han sido tan buenos como se pensaba.
Via Descriptiva: Consiste en presentar un modelo simplificado que posibilite comprender las relaciones entre fines generales e instrumentos por una parte y las interrelaciones entre los distintos tipos de políticas por otra.

Variables dummy en modelos de regresión

por Antonio Martinez en Econometría

Las variables dummy son variables cualitativas, tambien conocidas como indicativas, binarias, categóricas y dicotómicas. Sólo pueden asumir los valores 0 y 1, indicando respectivamente ausencia o presencia de una cualidad o atributo.

Para distinguirlas de las tradicionales X, representaremos las variables dummy con el símbolo D.

Los modelos de regresión que incluyen variables dummy se distinguen en…

Modelos de análisis de la varianza (ANOVA), si sólo esta compuesta de variables explicativas cualitativas.
Modelos de análisis de la covarianza (ANCOVA), si incluyen una combinación de variables cuantitativas y cualitativas.

Modelos ANOVA

Son modelos que solo incluyen variables explicativas.

$Variables dummy en modelos de regresión$

Interpretación:

El coeficiente del punto de corte $Variables dummy en modelos de regresión$ mide el valor medio de la variable dependiente de la categoría base o de referencia, es decir, para la que la variable dummy asume el valor 0.
El coeficiente $Variables dummy en modelos de regresión$ , no es una pendiente porque no hay una línea de regresión contínua. Se le llama coeficiente del punto de corte diferencial, porque mide la diferencia del punto de corte entre las dos categorías.
Podemos contrastar la hipótesis nula que no hay diferencia en el valor medio de la variable dependiente entre las dos categorías: $Variables dummy en modelos de regresión$ , averiguando si el estimador $Variables dummy en modelos de regresión$ es o no estadístivamente significativo.

Nota:

Si el modelo tiene un punto de corte común $Variables dummy en modelos de regresión$ , y si la variable cualitativa tiene m categorías, sólo hay que introducir $Variables dummy en modelos de regresión$ variables dummy. El no seguir esta regla caeríamos en la trampa de la variable dummy, tendremos una situación de multicolinealidad.

Modelos ANCOVA

Son una ampliación directa de los modelos ANOVA, porque incluyen variables de control, es decir, variables explicativas cuantitativas que controlan estadísticamente los efectos de las variables dummy.

Regresión sobre una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos categorías

$Variables dummy en modelos de regresión$

Interpretación:

$Variables dummy en modelos de regresión$ : Punto de corte común
$Variables dummy en modelos de regresión$ : Punto de corte diferencial
$Variables dummy en modelos de regresión$ : Manteniendo constante las diferencias entre las categorías, mide la variación de $Variables dummy en modelos de regresión$ para una variación de $Variables dummy en modelos de regresión$ , se le conoce como propensión marginal.

Regresión sobre una variable cuantitativa y una variable cualitativa con más de dos categorías o clases

$Variables dummy en modelos de regresión$

Este ejemplo tiene una variable cualitativa con 3 categorías y para evitar la trampa de la variable dummy hemos incluido 2 variables dummy, cuyos valores para distinguir las distintas categorías son los siguientes:

Categoría 1: $Variables dummy en modelos de regresión$
Categoría 2: $Variables dummy en modelos de regresión$
Categoría 3: $Variables dummy en modelos de regresión$

Interpretación:

$Variables dummy en modelos de regresión$ : Punto de corte común, mide el valor medio de la variable dependiente para la categoría de referencia, en este caso la categoría 1.
$Variables dummy en modelos de regresión$ : Puntos de corte diferenciales
$Variables dummy en modelos de regresión$ : Es la pendiente de las regresiones derivadas y mide la propensión marginal, es decir, la variación de la variable dependiente para un cambio unitario en la variable de control, independientemente de la categoría.

Regresión sobre una variable cuantitativa y más de una variable cualitativa

$Variables dummy en modelos de regresión$

La interpretación es similar al caso anterior, teniendo en cuenta que ahora tenemos 2 variables cualitativas distintas con 2 categorías cada una y en el caso anterior teníamos 1 variable cualitativa con 3 categorías, representada con 2 variables dummy.

Efectos de interacción:

$Variables dummy en modelos de regresión$

Interpretación:

El dummy $Variables dummy en modelos de regresión$ , se le conoce como variable dummy de interacción, mide el efecto conjunto o multiplicativo de dos variables cualitativas
El coeficiente $B_4$ mide el efecto diferencial conjunto de las dos variables cualitativas.
Dependiendo de la significatividad estadística del coeficiente $Variables dummy en modelos de regresión$ , podemos determinar si hay o no efecto de interacción.

Comparación de dos regresiones:

$Variables dummy en modelos de regresión$

Analizamos este modelo para estudiar la posibilidad que los coeficientes de la pendiente difieran entre distintas categorías.

Interpretación:

$Variables dummy en modelos de regresión$ : Coeficiente del punto de corte diferencial
$Variables dummy en modelos de regresión$ : Coeficiente de la pendiente diferencial, mide la diferencia del coeficiente de la variable de control entre dos categorías.
$Variables dummy en modelos de regresión$ : Muestra el valor medio de $Variables dummy en modelos de regresión$ para la categoría que recibe el valor 1 cuando $Variables dummy en modelos de regresión$
$Variables dummy en modelos de regresión$ : Es el coeficiente de la variable de control para la categoría que recibe el valor 1 de la variable dummy.
En función de la significatividad estadística del punto de corte diferencia $Variables dummy en modelos de regresión$ , y del coeficiente de la pendiente diferencial $Variables dummy en modelos de regresión$ , podemos pensar en cuatro posibilidades:
Regresiones coincidentes: Cuando no hay diferencias ni en los coeficientes del punto de corte ni de las pendientes.
Regresiones paralelas: Las pendientes son iguales, pero los puntos de corte son distintos.
Regresiones concurrentes: Los puntos de corte son iguales, pero las pendientes son distintas.
Regresiones disímiles: Tanto los puntos de corte como las pendientes son distintos.

Criterios y tests para la selección de un modelo econométrico

por Antonio Martinez en Econometría

Características de un buen modelo

Frugalidad: Hay que mantener el modelo lo más sencillo posible.
Identificabilidad: Los parámetros estimados deben tener valores únicos.
Bondad del ajuste: Se juzga si un modelo es bueno si el grado de explicación, por ejemplo, medido por el R² ajustado es lo más elevado posible.
Coherencia teórica: Al construir un modelo debemos tener cierta base teórica.
Poder de predicción: Elegiremos el modelo cuyas predicciones teóricas están respaldadas por la experiencia real.

Errores de especificación

Se produce un error de especificación cuando, en vez de estimar el modelo correcto, estimamos otro modelo. Los principales errores de especificación son: Omisión de variables relevantes, Inclusión de variables innecesarias, Adopción de la forma funcional errónea y Errores de medición. También suponen errores de especificación el incumplimiento de uno o más de los supuestos simplificadores del Modelo de Regresión Lineal Clásico (Ausencia de autocorrelación, Homoscedasticidad…)

Tipos de errores y sus consecuencias

Infra-ajuste del modelo

Los estimadores estan sesgados, es decir, sus valores medios no coinciden con sus auténticos valores.
Los estimadores son inconsistentes, es decir, independientemente del tamaño muestral, el sesgo no desaparecerá.
El estimador de la auténtica varianza del error es sesgado.
La varianza de los estimadores de los parámetros son sesgados.
Los procedimientos de definición de intervalo de confianza y de contrastación de hipótesis no son fiables.

Sobre-ajuste del modelo

Los estimadores de los parámetros y los de sus varianzas son insesgados y los metodos de contrastación son válidos, pero…
Los estimadores son ineficientes, es decir, sus varianzas serán mayores que los estimadores del modelo correcto, por lo que los auténticos coeficientes no serán estimados con la misma precisión que si se hubieran estimado con el modelo correcto.

Forma funcional incorrecta

Los estimadores de los coeficientes pueden ser sesgados.

Errores de medición…

…en la variable dependiente

Los estimadores de los coeficientes y los de sus varianzas son insesgados, pero…
Los estimadores son ineficientes, sus varianzas son mayores que en el caso en que no hay errores de medición.

… en las variables explicativas

Los estimadores están sesgados
Los estimadores son inconsistentes

Tests de los errores de especificación

La cuestión práctica es detectar si hemos cometido un error, una vez detectado la solución suele plantearse por si misma.

Detección de la existencia de variables innecesarias

Test de t: Para averiguar si una variable realmente pertenece al modelo, podemos contrastar la significatividad del estimador del coeficiente de dicha variable. Bajo la hipótesis nula de que el estimador es igual a cero, si el valor calculado de la t no supera el valor crítico al nivel de significatividad elegido, no rechazamos la hipotesis nula, por tanto, la variable pertenece probablemente al modelo.
Test de la F: Para comprobar si dos variables juntas son relevantes o no, tenemos que contrastar la hipotesis nula de que ambos estimadores valen cero. Para ello debemos calcular el valor de la F usando las R² de los dos modelos, uno que incluya las dos variables “sospechosas” y otro que no las incluya, finalmente comparamos el resultado con su valor crítico.

Test sobre variables omitidas y formas funcionales incorrectas

Análisis de los residuos: La representación gráfica de los residuos puede revelar errores de especificación, como la omisión de una variable importante o una forma funcional incorrecta. También es una herramienta útil para diagnosticar la heteroscedasticidad y la autocorrelación.
Test Mackinon-White-Davidson: Se utiliza para ver si una especificación de un modelo de regresión lineal es mejor que la de un modelo lineal en logarítmos.
Test RESET de Ramsey: Es un test general para detectar la omisión de variables y la elección de una forma funcional incorrecta. Su ventaja es que es fácil de utilizar con el inconveniente que no ofrece un modelo alternativo si resulta que el modelo está mal especificado.
Otros: Test de Wald, Test del multiplicador de Lagrange, Test de Hausman y las transformaciones Box-Cox

Los problemas de provisión de los bienes públicos

por Antonio Martinez en Política Económica

Los fallos del mercado, se traducen en una cantidad no eficiente de producción, derivada del carácter público de algunos bienes cuyo consumo es no rival y no exclusivo, es decir, los fallos del mercado pueden concretarse en una oferta insuficiente de bienes públicos.

En el caso de un bien público impuro, si los consumidores y los productores solo tienen en cuenta sus beneficios y costes privados, el mercado producirá demasiado poco y habría una perdida de eficiencia por no haber internalizado los beneficios externos. P.ej: La restauración de una fachada de un edificio. Análogamente en el caso de un “mal” público o externalidad negativa, una internalización de los costes externos aumentaría el bienestar social. P.ej: La contaminación de una playa por los residuos de una fábrica.

En el caso extremo de los bienes públicos puros, en teoría no existiría un mercado para ellos, por tanto su producción nunca se produciría, a no ser que los posibles beneficiarios se pongan de acuerdo en producirlo.

Los fallos del mercado suponen principalmente que la racionalidad individual no implica la racionalidad colectiva, por lo que se plantea un problema de actuación colectiva de los individuos para maximizar el bienestar colectivo. El marco teórico para analizar los problemas de actuación colectiva es la teoría de la acción colectiva introducida por Olson (1965) y actualizada por Sandler (1992). Un instrumento fundamental utilizado por esta teoría es la teoría de juegos, porque representan las interacciones estrategicas de los individuos en diversas situaciones y un concepto central para entender estas interacciones es el de “free rider”

El problema del “free rider”

El “free rider” es un individuo que disfruta de los beneficios de un bien público sin pagar por ellos. Como no es posible excluir a nadie del disfrute del bien público una vez producido, los que se benefician de el tienen un incentivo para no contribuir a su producción. Esto envía una señal equivocada a los productores, y en consecuencia el bien público no se producirá.

Para la provisión correcta de bienes públicos, los mercados no son efectivos, por lo que hay que recurrir a mecanismos alternativos, destacando la cooperación entre los posibles beneficiarios y si esto falla puede recurrirse a la intervención pública.

Problemas de actuación colectiva

La acción colectiva surge cuando son necesarios los esfuerzos de dos o más individuos para conseguir un resultado. Los problemas de actuación colectiva están típicamente caracterizados por la existencia de una interdependencia entre los participantes.

La teoría de la acción colectiva se fundamenta en la premisa básica de que la racionalidad individual no implica la racionalidad colectiva y se centra en los problemas derivados de los bienes públicos puros, impuros y la presencia de externalidades.

Los fallos del mercado se producen como consecuencia de la actuación independiente de individuos racionales cuando los efectos de sus decisiones son interdependientes o estratégicas. Por tanto, las elecciones colectivas subóptimas se producen en situaciones caracterizadas por un comportamiento estratégico.

Tecnologías de producción de bienes públicos

Son tecnologías de producción de bienes públicos las distintas maneras en las que las acciones individuales se agregan para determinar el nivel de provisión total del bien público.

Tecnología de agregación

La provisión de algunos bienes públicos resulta de la agregación de muchas contribuciones de igual importancia.

Esta tecnología implica que la contribución de un individuo puede ser sustituida por la de cualquier otro. Esta situación puede ser descrita con juegos como el Dilema del Prisionero o el Juego del Cobarde. Esta tecnología suele estar asociada con fallos colectivos y una insuficiente provisión del bien público. La redistribución de renta hacia los miembros más ricos para que garanticen la provisión puede ser ineficaz porque queda compensada con la reducción en las aportaciones de los individuos que han transferido parte de sus recursos, esto se conoce como neutralidad de la distribución de la renta.

Tecnología del agente menos capaz (“weakest link”)

La provisión total del bien público es igual a la menor de las contribuciones individuales, por lo que la cantidad del bien público está limitada por el esfuerzo del agente más débil. Esta tecnología puede representarse por juegos de confianza. Una redistribución de la renta que aumente los recursos de los miembros más pobres del colectivo aumentará el nivel total de provisión del bien público. P.ej: La seguridad de una fortaleza vale tanto como la del punto más flaco para el asalto.

Tecnología del agente más capaz (“best shot”)

La provisión total del bien público es igual a la mayor contribución individual realizada entre los miembros del colectivo. Esta situación puede representarse con juegos de coordinación. La redistribución de renta hacia los miembros con más recursos aumentará la provisión del bien público. P.ej: El descubrimiento de un remedio para eliminar el SIDA.

Otras tecnologías de producción menos extremas

- La tecnología de los agentes menos capaces (“weaker link”): La contribución de los individuos con menos recursos tiene un mayor efecto sobre la provisión total del bien público.
- La tecnología de los agentes más capaces: La contribución mayor es la que más impacto tiene sobre el total, aunque cualquier aportación contribuye.
- La tecnología de la media ponderada: Las diferentes aportaciones reciben un peso diferente en función de su impacto sobre el total.

La intervención pública en las economías de Mercado

por Antonio Martinez en Política Económica

El modelo de competencia perfecta se sitúa como punto de referencia ideal. Cuando no se cumplen algunos de sus supuestos iniciales se llega a los modelos de competencia imperfecta, y a pesar de que estos casos son más reales, se estudian como anomalías del modelo básico. Y la razón es que el modelo de competencia perfecta favorece la eficiencia técnica y la eficiencia asignativa, produciendo con la menor cantidad de recursos posible y asignado los recusos disponibles a los usos más productivos.

La eficiencia en el modelo de competencia perfecta

En una economía competitiva los consumidores demandarán un bien hasta que su beneficio marginal se iguale a su coste marginal, que para ellos es el precio del producto y los productores aumentarán su producción hasta que su beneficio marginal se iguale a su coste marginal que coincide también con el precio de producto.

El equilibro será aquel en el que se igualen los beneficios marginales de los consumidores y el de los productores, gráficamente coincide con el punto de corte de las curvas de oferta y demanda.

Si a ese precio de equilibro se consumiese y se produjese una cantidad menor, los consumidores estarían incentivados a consumir más pero los productores producirían menos, esta diferencia reflejaría una pérdida de eficiencia repartida en lo que se conoce como excedente del consumidor y excedente del productor. Algo parecido ocurre en el caso contrario, cuando la cantidad producida y consumida es superior a la del equilibrio, produciéndose en este caso una pérdida directa.

En el equilibro se maximizan los excendentes y en consecuencia la eficiencia y el bienestar social. Previamente deben haberse aceptado dos supuestos adicionales:

El beneficio marginal para el conjunto de la sociedad coincide con el beneficio marginal privado de los consumidores.
El coste marginal para la sociedad en su conjunto es igual al coste marginal privado de los productores.

En estas condiciones podemos decir que el equilibro del mercado competitivo se produce cuando coinciden el beneficio marginal social y el coste marginal social, y cualquier desviación producirá una perdida de eficiencia y en consecuencia una pérdida de bienestar para el conjunto de la sociedad.

Para valorar el bienestar social se recurre al concepto de óptimo de Pareto como criterio normativo.

Asignación Pareto-óptima: Cuando no es posible mejorar el bienestar de ningún individuo sin perjudicar al menos a otro.
Asignación Pareto-subóptima:
- Pareto-superior / Pareto-domina: Una situación A domina o es superior a otra B cuando al pasar de B a A al menos un individuo mejora su bienestar y no se reduce el de nadie.
- Pareto-inferior / Pareto-dominada: Una situación B es inferior o dominada por A cuando en B al menos una persona está peor y ninguna está mejor que en A.

El primer teorema de la economía del bienestar afirma que todo equilibrio competitivo es un óptimo de Pareto.

En síntesis, cuando los beneficios sociales y privados coinciden y los costes sociales y privados son iguales, el resultado es una producción eficiente para el conjunto de la sociedad, es decir, la “mano invisible” de Adam Smith funciona. Desde esta perspectiva, los resultados ineficientes o subóptimos se producirían cuando el estado interviene con regulaciones, defendiéndose la doctrina del laissez faire.

Sin embargo, la realidad es que el resultado no es tan positivo como predice la teoría y nada garantiza que la solución competitiva sea mejor que las producidas por otros medios. Además, en presencia de “fallos del mercado”, una economía que siga los principios del “laissez faire” funcionará ineficientemente y una ponderada intervención estatal puede mejorar el bienestar social en vez de empeorarlo.

La intervención pública en la economía

Suponiendo el funcionamiento perfecto del modelo competitvo, para garantizar el correcto funcionamiento de la sociedad, debe considerarse una intervención mínima en cuatro áreas (Legislativa, Policial, Judicial y Defensa)

Actividad legislativa para establecer mecanismos para asignar derechos.
Actividad coercitiva y policial para proteger a los titulares de estos derechos.
Actividad judicial para hacer valer estos derechos.
Actividad política y de defensa para proteger los derechos privados o públicos contra las agresiones del exterior.
Otras tareas fundamentales como la obtención de fondos a través de impuestos.

Esta es la intervención minimalista que diseñó Adam Smith y han defendido los seguidores del laissez faire y del liberalismo económico.

Los fallos de mercado

Cuando no se cumplen algunas de las dos condiciones básicas para que un mercado sea de competencia perfecta (BMg=P y CMg=P) o de las condiciones para que una economía compuesta de mercados competivos asegure el máximo de bienestar social (BMgS=BMg y CMgS=CMg) se producen los habituales fallos de mercado, es decir, situaciones en las que el resultado de las interacciones a través del mecanismo competitivo son subóptimas.

Poder de mercado: Se define como la capacidad individual de influir sobre el precio. Esta ligado a estructuras de mercado de competencia imperfecta como monopolios, monopsonios y oligopolios.

- - BMg > P: Algunos compradores individuales tienen influencia sobre el precio, lo reducen por debajo del equilibrio y consiguen beneficios extraordinarios.
  - P > CMg : Algunos vendedores individuales tienen influencia sobre el precio, lo fijan por encima del equilibrio y obtienen también beneficios extraordinarios.

Cuando estas situaciones reducen el bienestar social deben ser corregidas.

Presencia de externalidades:

- - BMgS > BMg : La compra de un bien por parte de un individuo beneficia a terceros que no soportan el coste del bien. Es un problema de producción insuficiente de bienes públicos junto a presencia de externalidades positivas.
  - CMgS > CMg : Externalidades negativas. El productor no es el único que soporta el coste de producción.

Uno de los mayores problemas que impiden el equilibrio competitivo es el incumplimiento de la hipótesis fundamental de información perfecta, es decir, cuando existe incertidumbre, dicho sea de paso es la situación más normal en las relaciones económicas.

Incluso cuando se cumplen todas las condiciones hay otros problemas que impiden que el resultado sea tan beneficioso como lo indicado por la teoría, los más relevantes son los problemas de la distribución de la renta y la inestabilidad de los precios.

Problemas relacionados con la presencia de información imperfecta

Información asimétrica

Implica que algunos individuos “insiders” pueden tener más conocimiento que otros “outsiders” sobre una determinada situacion, y en consecuencia los “outsiders” se resisten a establecer acuerdos con los “insiders” por el riesgo de ser engañados. Un ejemplo clásico es el del mercado de los coches de segunda mano descrito por Akerlof en 1970.

Esta situación impone unos costes de transacción derivados de la búsqueda de información.

Riesgo moral (“moral hazard”)

Surge cuando determinados acuerdos entre participantes alteran los incentivos de alguno de ellos de forma que aumenta sus preferencias por posiciones de mayor riesgo. Por ejemplo, un seguro de vivienda puede hacer que los usuarios sean menos cuidadosos aumentanto el riesgo de daños.

Los Problemas de la distribución de la renta

Para cada posible distribución de la renta, existe una solución perfectamente competitiva, es decir, que una economía perfectamente competitiva puede producir cualquier óptimo de Pareto por medio de una transferencia de recursos adecuada que no distorsione los precios. Pero, ¿cual es la mejor solución? El criterio de Pareto no responde a este interrogante. Cada situación en particular será mejor para unos individuos que para otros, aunque sean igualmente eficientes para la sociedad en su conjunto.

En conclusión, una economía que sigue el modelo competitivo, produce un equilibrio eficiente compatible con distintas distribuciones de la renta. Se trata de un problema de maximizar el bienestar social sujeto a la restricción de la distribución de la renta que el mismo modelo ha producido. Una mejora de la distribución de la renta podría conseguir un mayor bienestar social, por lo que las distintas políticas que afectan a la distribución de la renta tratan de modificar el resultado producido por el mercado competitivo.

La inestabilidad de los precios

En un mercado competitivo los precios actuan como señales para la oferta y la demanda que provocan respuestas rápidas por parte de los consumidores y los productores para maximizar sus respectivos beneficios marginales, por lo que una rigidez de precios introducida por la interveción pública explicaría resultados ineficientes.

Sin embargo, cuando hay separación temporal entre las decisiones de producción y la llegada de la producción al mercado, el problema puede ser el contrario. Los productores pueden precipitarse estas señales, provocando fuertes oscilaciones en la producción, y consecuentemente en los precios. Por tanto, un mercado competitivo puede producir inestabilidad de precios, con la consiguiente reducción del bienestar social.

Existen dos soluciones al problema de las fluctuaciones de precios, una de carácter público y otra de carácter privado.

Solución pública: Políticas de estabilización de rentas
Solución privada: Procede de la actuación de los mismos productores y los especuladores, con o sin la ayuda de mercados organizados. La presencia de mercados de futuros facilita que los productores utilicen estimadores más fiables sobre el precio futuro y facilitan también que la participación de los especuladores sea intensa. A veces, la iniciativa privada no es suficiente para impulsar la aparición de mercados organizados, por lo que suele ser necesaria una intervención pública inicial.

Relación entre los bienes públicos y los otros fallos de mercado

El estudio de los bienes públicos engloba la mayoría de los problemas agrupados en los denominados fallos de mercado.

Las externalidades negativas pueden analizarse como “males públicos” que aparecen cuando hay una insuficiente provisión de bienes públicos.

Pueden analizarse también como bienes públicos, la competencia, la equidad en la distribución de la renta, la estabilidad de precios y la provisión de información, ya que su falta o insuficiencia reducen la eficiencia de la economía, y en consecuencia el bienestar social.

El concepto de política económica y los bienes públicos

Segun Kirschen, la política económica es el proceso mediante el cual el Gobierno, a la luz de sus fines políticos últimos, decide sobre la importancia relativa de ciertos objetivos y, cuando es preciso, utiliza instrumentos o cambios institucionales con intención de alcanzar tales objtivos.

Lo político y lo económico tienen un alto grado de interacción en muchos ámbitos.

Puede afirmarse que las políticas públicas, y por tanto, la política económica, tienen como objetivo la provisión de distintos tipos de bienes públicos que no pueden ser producidos por el sistema de mercado, o son producidos en cantidad insuficiente.

Problemas resueltos de Estadística II – Parte 1

por Antonio Martinez en Estadistica II

Un estudio realizado establece que el número de hijos que tienen las parejas de 25-35 años viene dado por:

Nº de hijos $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	0	1	2	3
Probabilidad	0,25	k	0,2	0,1

a) Calcular el valor de k para que sea una distribución de probabilidad

b) Obtener la función de distribución

c) Calcular la esperanza y varianza de la variable aleatoria

Solución

a) Debe cumplirse que $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

b)Teniendo en cuenta que la función de distribución $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

Tendremos: $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

c) $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

Teniendo en cuenta que: $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$ , calculamos $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

Luego: $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

Un estudio realizado establece que el número de hijos que tienen las parejas de 25-35 años viene dado por:

$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

a) Calcular el valor de la constante $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

b) Poner las probabilidades en forma de table de doble entrada y hallar las correspondientes distribuciones de probabilidades marginales

c) Calcular las distribuciones de probabilidad condicionadas para ambas variables.

Solución

a) Debe cumplirse que:

$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

X \ Y	1	2	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$
1	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$
2	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$
3	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$
$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

Las funciones de probabilidad marginal son:

$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

c) Las funciones de probabilidad condicionadas:

$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

X	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$
1	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$
2	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$
3	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

Y	1	2
$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$
$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$
$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$	$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

La variable aleatoria bidimensional (X,Y) son los beneficios de una empresa, procedentes de sus exportaciones a dos países diferentes. Sabiendo que X e Y son independientes, con medias de 2 y 4 millones de euros respectivamente y desviación típica de 0,01 millones de euros en ambas. Se pide:

a) ¿Qué beneficio presenta menor coeficiente de variación? Explique el resultado.

b) La esperanza de los beneficios totales: X+Y

c) La desviación típica de los beneficios totales: X+Y. ¿Qué sucede si X e Y no son independientes? Explique su respuesta.

Solución

a) Puesto que las desviaciones típicas son iguales, presentará menor coeficiente de variación la variable Y, por tener mayor media. Tenemos:

$Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

b) $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

c) Como X e Y son independientes, $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

Si X e Y no fuesen independientes se cumpliría que: $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

La variable aleatoria bidemensional (X,Y) son los beneficios de una empresa, procedentes de sus exportaciones a dos países diferentes. Sabiendo que X e Y son independientes, con medias de 4 y 6 millones de euros respectivamente y desviación típica 0,02 millones de euros en ambas. Se pide:

a) ¿Qué beneficio presenta menor coeficiente de variación? y ¿Cuál es su covarianza? Explique el resultado.

b) La esperanza de los beneficios totales: X+Y

c) La desviación típica de los beneficios totales: X+Y

d) Explique qué sucede con la desviación típica si X e Y no son independientes.

Solución

a) Al ser las desviaciones típicas iguales, presenta menor coeficiente de variación la variable cuya media es mayor, esto es, la Y. Dado que las variables son independientes, su covarianza es cero.

b) $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

c) $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$ , de donde la desviación típica de X+Y será: $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

d) $Problemas resueltos de Estadística II Parte 1$

Fuente: http://personal.telefonica.terra.es/web/imm/homestad.htm

Construcción de intervalos de confianza

por Antonio Martinez en Estadistica, Estadistica II

Supongamos que una compañía dedicada a la producción de piezas para el sector de automoción, quiere analizar la productividad de una de sus plantas industriales y para ello realiza un control de las piezas fabricadas. Mediante el control realizado sobre una muestra aleatoria de piezas, estima que el 10 % de todas las piezas son defectuosas. El gerente que se encuentra con este dato se hace la siguiente pregunta: ¿Puedo estar seguro de que el verdadero porcentaje de piezas defectuosas está entre 5 % y 15 %? Esta clase de preguntas requieren información que va más allá de la contenida en una simple estimación puntual; se trata de buscar un rango de valores entre los que posiblemente se encuentre la cantidad que se estima.

En una estimación por intervalo se define un intervalo dentro del cual puede estar el parámetro desconocido. El intervalo suele ir acompañado de una afirmación sobre el nivel de confianza que se puede asignar a su precisión, por ello se llama intervalo de confianza.

Construcción e interpretación de los intervalos de confianza.

Podemos hacernos la siguiente pregunta; ¿Cómo podemos construir un intervalo y afirmar que confiamos al 95,5 % que ese intervalo contiene a $Construcción de intervalos de confianza$ , si ni siquiera sabemos cuál es al media poblacional?

Viendo el gráfico y recordando la valoración de normalidad que vimos, el 95,5 % de todas las medias muestrales se encontrarán entre $Construcción de intervalos de confianza$ . No debemos olvidar que a partir de cualquier población podemos obtener muchas muestras diferentes de un mismo tamaño determinado, cada una de ellas con su propia media $Construcción de intervalos de confianza$ . Todas estas medias muestrales dan lugar a un intervalo de confianza, que podrá incluir o no a la media poblacional. Por consiguiente, si a partir de cualquier media muestral nos desplazamos dos errores típicos por encima y otros dos por debajo de esa media $Construcción de intervalos de confianza$ , podemos tener una confianza del 95,5 % de que el intervalo resultante contiene a la media poblacional desconocida.

Si tomáramos 100 muestras aleatorias de tamaño $Construcción de intervalos de confianza$ de la misma población y calculáramos los extremos del intervalo para cada muestra, entonces esperamos que aproximadamente el 95,5% de los intervalos contendrán en su interior el verdadero valor del parámetro $Construcción de intervalos de confianza$ y el 4,5% restante no lo contendrán. Pero como nosotros, en la práctica, sólo tomamos una muestra aleatoria y por tanto sólo tenemos un intervalo de confianza, no conocemos si nuestro intervalo es uno del 95,5% o uno del 4,5 %, por eso hablamos de que tenemos un nivel de confianza del 95,5 %.

El valor de 95,5 % recibe el nombre de nivel de confianza, es el nivel de confianza que tenemos en que el intervalo contiene el valor del parámetro desconocido. Al valor $Construcción de intervalos de confianza$ se le llama coeficiente de confianza. El objetivo que se pretende con los intervalos de confianza es obtener un intervalo de poca amplitud y con una alta probabilidad de que el parámetro poblacional se encuentre en su interior. Así pues, elegiremos probabilidades cercanas a la unidad, que se representan por $Construcción de intervalos de confianza$ , y cuyos valores más frecuentes suelen ser: 0,90, 0,95, 0,99., que corresponden al 99%, 95% y 90%

La precisión de la estimación por intervalos vendrá caracterizada por el nivel de confianza y por la amplitud del intervalo:

Para un coeficiente de confianza fijo, cuanto más pequeño sea el intervalo de confianza más precisa será la estimación.
Para una misma amplitud de intervalo, cuanto mayor sea el coeficiente de confianza mayor será la precisión.

Métodos de obtención de estimadores

por Antonio Martinez en Estadistica, Estadistica II

Los principales métodos de estimación de parámetros de un modelo probabilístico o de coeficientes de un modelos matemático son los siguientes

Método de los momentos
Método de máxima verosimilitud
Mínimos cuadrados

Para la estimación de parámetros de distribuciones de probabilidad, los métodos empleados son los dos primeros, mientras que el segundo se usa principalmente en los estudios de regresión.

Método de los momentos

Es el método más sencillo y antiguo. Se suele utilizar para obtener una primera aproximación de los estimadores. Se igualan tantos momentos muestrales, como parámetros se tengan que estimar.

Propiedades de los estimadores obtenidos por el método de los momentos:

Si los parámetros desconocidos son momentos poblacionales, entonces los estimadores obtenidos serán insesgados y asintóticamente normales
Bajo condiciones bastantes generales, los estimadores obtenidos serán consistentes.

Método de la máxima verosimilitud

En esencia el método consiste en seleccionar como estimador del parámetro, de un modelo probabilístico, a aquél valor que tiene la propiedad de maximizar el valor de la probabilidad de la muestra observada. Es decir, encontrar el valor del parámetro que maximiza la función de verosimilitud.
Propiedades de los estimadores obtenidos por el método de máxima verosimilitud:

Los estimadores de máxima verosimilitud son consistentes.
En general no son insesgados, pero si no son insesgados son asintóticamente insesgados (el estimador converge al parámetro θ, y en el límite coincide con su valor medio, que es el parámetro θ).
Todo estimador de máxima verosimilitud no es eficiente, pero sí son asintóticamente eficientes.
Son asintóticamente normales.
Son suficientes.

Estimación Puntual

por Antonio Martinez en Estadistica, Estadistica II

Objetivo y características fundamentales

En una estimación puntual se utiliza un solo número o valor para determinar una estimación del parámetro poblacional desconocido. En la estimación puntual se asume que el estadístico es un buen estimador del parámetro. Obviamente cualquier estadístico no sirve, es necesario que satisfaga ciertas propiedades:

Propiedades de los estimadores puntuales

1.- Estimador insesgado o centrado y de varianza mínima. Cota de Cramer-Rao

Se dice que un estimador es insesgado o centrado si la media de la distribución muestral del estadístico muestral coincide con el parámetro a estimar. Es decir, si repetimos el proceso de muestreo muchas vedes en promedio el valor que se obtiene de un estimador insesgado será igual al parámetro poblacional. Un estimador es insesgado cuando no existe sesgo entre la esperanza del estimador y el parámetro poblacional, o sea, la esperanza del estimador es el propio parámetro.

$Estimación Puntual$

Para obtener un estimador insesgado de varianza mínima, hay que determinar las varianzas de todos los estimadores insesgados de $Estimación Puntual$ y seleccionar el que posea la varianza más pequeña. La cota de Cramer Rao permite obtener una cota inferior de la varianza.

$Estimación Puntual$

Siendo $Estimación Puntual$ la función de verosimilitud.

La media, la varianza y las proporciones muestrales son estimadores insesgados de los correspondientes parámetros poblacionales.

No debemos olvidar que la varianza muestral la hemos definido $Estimación Puntual$ , para que podamos obtener un estimador insesgado.

2.- Estimador eficiente

Un estimador es eficiente si se cumple que:

Es insesgado. $Estimación Puntual$
Posee varianza mínima. Para calcular si el valor adquirido por la varianza es mínimo, usamos la cota de Cramer-Rao.

Si se tienen dos estimadores insesgados, que siguen las mismas distribuciones, para un mismo tamaño muestral $Estimación Puntual$ , se dice que uno es más eficiente que el otro cuando su varianza es menor.

$Estimación Puntual$

El estimador 1 será más eficiente que el estimador 2. Al ser estimadores insesgados ambas distribuciones muestrales tienen la misma media, luego será más homogénea la distribución que posee menor varianza.

3.- Estimador consistente

La consistencia de un estimador está relacionada con el comportamiento del estimador cuando el tamaño de la muestra aumenta. Es decir, a medida que el tamaño de la muestra aumenta la información que nos proporciona sobre la población será mayor.

Se dice que un estimador es consistente cuando al aumentar el tamaño de la muestra, el valor medio de la distribución muestral del estadístico muestral tiende al parámetro a estimar.

$Estimación Puntual$

Así cuando el tamaño de la muestra aumenta la información es más completa y la varianza del estimador suele ser menor, por tanto la distribución muestral de ese estimador tenderá a encontrarse más concentrada alrededor del parámetro que pretendemos estimar.

4.- Estimador suficiente

Este concepto de suficiencia fue introducido por Fisher en 1922, y puede decirse que:

Diremos que un estadístico es suficiente para un parámetro poblacional desconocido cuando recoge toda la información que la muestra contiene sobre el parámetro. Dicho de otra forma: Una vez que sabemos el valor que ha tomado el estadístico, la muestra $Estimación Puntual$ ya no puede proporcionarnos mas información sobre dicho parámetro. Esto equivale a decir que, si el estadístico es suficiente, la distribución de probabilidad de la muestra condicionada a que conocemos el valor del estadístico , ha de ser independiente del parámetro.

Estimador invariante

Un estimador es invariante si se verifica que el estimador de una función del parámetro es igual a la función del estimador del parámetro.

$Estimación Puntual$

Por ejemplo si la varianza muestral es estimador de la varianza poblacional, si el método de estimación es invariante, la desviación típica muestral será estimador de la desviación típica poblacional.

Existen estimadores invariantes a cambios de origen, cambios de escala, o cambios de origen y escala.

Estimador robusto

Un estimador es robusto cuando pequeños cambios en las hipótesis de partida del procedimiento de estimación considerado, no producen variaciones significativas en los resultados obtenidos.

Para estimaciones de la media poblacional, no conociendo la desviación típica muestral, utilizamos el estadística T- Student con $Estimación Puntual$ grados de libertad, y con un tamaño de muestra relativamente grande:

$Estimación Puntual$

Ante pequeñas variaciones en la distribución $Estimación Puntual$ , no se producen cambios sustanciales en los procedimientos basados en este estadístico.

Si realizamos pequeñas variaciones en la distribución, sí se producen cambios sustanciales para procedimientos que se realicen sobre la varianza poblacional, basados en el estadístico $Estimación Puntual$

Muestreo

por Antonio Martinez en Estadistica, Estadistica II

Muestra aleatoria

Una muestra aleatoria simple de tamaño “ n “ consiste en n objetos (individuos) de una población de N objetos ( individuos ), escogidos de manera que cualquier conjunto de n objetos de la población tenga la misma oportunidad de convertirse en la muestra realmente seleccionada.
Una muestra aleatoria simple no sólo da a cada individuo la misma oportunidad de ser escogido evitando por tanto el sesgo en la selección (diremos que el diseño de un estudio es sesgado si favorece sistemáticamente ciertos resultados), sino que también da a cada posible muestra la misma oportunidad de ser escogida.

Puede pensarse en el proceso de muestreo aleatorio simple de la forma siguiente:
Supongamos que los N miembros de la población se introducen en un enorme sombrero y se mezclan concienzudamente. Una muestra aleatoria simple se obtiene extrayendo a n de ellos. En la práctica no es necesario hacerlo de este modo, los programas estadísticos pueden escoger una muestra aleatoria simple casi de forma instantánea de una lista de individuos de una población, o también se puede aleatorizar utilizando una tabla de dígitos aleatorios.

Por el momento nos limitaremos a muestras que hayan sido seleccionadas mediante esquemas de muestreo aleatorio simple. Sin embargo, debemos aclarar que este no es el único procedimiento que existe para elegir individuos de una población, y que, en determinadas circunstancias, pueden resultar preferibles esquemas de muestreo alternativos.

Parámetros poblacionales y estadísticos muestrales

Generalmente diremos que los parámetros poblacionales son las características numéricas de la población. En la estadística clásica un parámetro se puede considerar como una constante fija cuyo valor se desconoce. Uno de los problemas más comunes en la estadística inferencial es estudiar una población con una función de distribución $Muestreo$ donde la forma de la función de distribución es conocida pero depende de un parámetro $Muestreo$ desconocido, ya que si fuese conocido tendríamos totalmente especificada la función de distribución.

Un estadístico es una variable aleatoria, que es función de las observaciones muestrales y no contiene ningún valor o parámetro desconocido. Continuando con la población de función de distribución $Muestreo$ , y considerando una muestra aleatoria simple $Muestreo$ constituida por $Muestreo$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas podemos definir como estadísticos:
$Muestreo$

$Muestreo$

… etc.
Por tanto, parámetro y estadístico son conceptos muy diferentes. Un parámetro es una constante que describe la población y cuando se conoce queda determinado el modelo probabilístico y un estadístico es una variable aleatoria cuyo valor depende de las observaciones muestrales.
Veamos el siguiente cuadro:

Dada una población finita de tamaño N, y una muestra aleatoria simple de tamaño n, $Muestreo$ , obtenida de la población de partida, tenemos:

	PARÁMETROS POBLACIONALES	ESTADÍSTICOS MUESTRALES
MEDIA	$Muestreo$	$Muestreo$
VARIANZA	$Muestreo$	$Muestreo$
PROPORCIÓN	$Muestreo$	$Muestreo$

Si la población de partida no es finita utilizaremos la misma notación para designar a estos parámetros poblacionales, pero estos no pueden ser calculados a partir de muestras finitas, sino que tendremos que recurrir al cálculo de valores esperados de variables aleatorias de tipo continuo.

La estadística inferencial o inductiva consiste en utilizar un estadístico para llegar a una conclusión o inferencia sobre el parámetro poblacional correspondiente. Por ejemplo, podemos calcular la media aritmética de una muestra, recurriendo al estadístico $Muestreo$ , y utilizarlo como estimación de la media aritmética de la población $Muestreo$ ; el estadístico se utiliza como estimador del parámetro.

Función de distribución empírica

La función de distribución empírica tiene las mismas propiedades que la función de distribución de la variable aleatoria, lo que implica que cuando el tamaño de la muestra crece, la gráfica de la función de distribución empírica se aproxima bastante a la de la función de distribución de la población, con lo que puede utilizarse como estimador de la misma.
$Muestreo$
Siendo $Muestreo$ el número de valores observados menores o iguales que $Muestreo$ .

Distribución muestral de estadísticos

Es importante recordar que en el análisis estadístico tiene mucha importancia la información obtenida de una muestra representativa de la población: un director de una empresa elige una muestra representativa para determinar el grado de satisfacción que presentan los usuarios de su producto, un partido político selecciona una muestra de ciudadanos para analizar si su programa político producirá los resultados deseados, etc en estos casos los resultados obtenidos sólo son estimaciones de lo que ocurre en toda la población. El valor del estadístico es aleatorio porque depende de los elementos elegidos en la muestra seleccionada y, por lo tanto, el estadístico tiene una distribución de probabilidad la cual llamamos Distribución Muestral del Estadístico. Esta distribución dependerá del tamaño de la muestra, luego podemos decir que existe diferencia entre la distribución de la población de la cual se ha tomado la muestra y la distribución de alguna función de esa muestra.

La distribución muestral de un estadístico se puede obtener tomando todas las posibles muestras de la población de un tamaño fijado n calculando el valor del estadístico para cada una de las muestras y construyendo la distribución de estos valores. Como para cualquier distribución, las dos medidas fundamentales son la media y la desviación típica, también denominada error típico.

En esta asignatura estudiaremos las distribuciones muestrales del los estadísticos media, varianza y proporción muestral, pues son de bastante utilidad en diferentes aplicaciones estadísticas.

Distribución muestral del estadístico media muestral

Cuando se conoce la varianza poblacional

Si tenemos una muestra aleatoria de tamaño n procedente de una población con distribución normal $Muestreo$ entonces la distribución del estadístico media muestral será:
$Muestreo$ , si tipificamos $Muestreo$
Si la distribución no es normal, basta que $Muestreo$ para que la media muestral siga una distribución normal, por el Teorema Central del Límite.

Cuando no se conoce la varianza poblacional

Calculamos la varianza muestral y la usamos como varianza poblacional (cuasi varianza)

$Muestreo$ $Muestreo$

Distribución muestral del estadístico varianza muestral

A partir de la definición de la cuasivarianza muestral, obtenemos:

Cuando no se conoce la media poblacional.

$Muestreo$

Cuando se conoce la media poblacional.

$Muestreo$
Estos estadísticos son independientes. Recordar que los grados de libertad, son los números de variables que integran, en este caso, el estadístico.

Distribución muestral del estadístico proporción muestral

Sea una muestra aleatoria simple de tamaño n procedente de una población con distribución B(1, p)
$Muestreo$

Si tipificamos: $Muestreo$

Teorema Central del Límite

por Antonio Martinez en Estadistica, Estadistica II

No existe un único Teorema Central del Límite, sino un conjunto de teoremas, todos ellos dando condiciones para que una sucesión de variables aleatorias tienda a distribuirse según una distribución normal. Muchas variables aleatorias que se encuentran en la práctica son sumas o promedios de un número grande de variables aleatorias independientes.

Consideremos que $Teorema Central del Límite$ es una sucesión de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con media $Teorema Central del Límite$ y varianza $Teorema Central del Límite$ (ambas finitas). Definimos una nueva variable: $Teorema Central del Límite$

Para cualquier variable aleatoria, al restar la media y dividir por la desviación típica se obtiene una variable aleatoria tipificada de media 0 y varianza 1:
$Teorema Central del Límite$ . Cuando $Teorema Central del Límite$ , entonces podemos decir que $Teorema Central del Límite$ o bien $Teorema Central del Límite$ .

El teorema central del límite tiene un impacto sustancial en la práctica estadística. Afirma que cualquiera que sea la distribución común de un conjunto de variables aleatorias, suponiendo que la media y la varianza son finitas, la suma de un número moderadamente grande de ellas será una variable aleatoria con distribución parecida a la normal.

La validez del teorema central del límite no está limitado a variables aleatorias continuas y simétricas, se extiende también a variables aleatorias discretas y asimétricas. Así tenemos el Teorema de Moivre:
Si las variables aleatorias no son independientes o no tienen la misma distribución de probabilidad, en ese caso habrá que utilizar otras condiciones de mayor dificultad que no consideraremos en este caso.

Otro resultado interesante de este teorema es el siguiente, consideramos que $Teorema Central del Límite$ es una sucesión de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con media $Teorema Central del Límite$ y varianza $Teorema Central del Límite$ (ambas finitas). Definimos una nueva variable $Teorema Central del Límite$ que es el promedio de estas variables aleatorias:
$Teorema Central del Límite$

Para cualquier variable aleatoria, al restar la media y dividir por la desviación típica se obtiene una variable aleatoria tipificada de media 0 y varianza 1:
$Teorema Central del Límite$ Cuando $Teorema Central del Límite$ entonces podemos decir que $Teorema Central del Límite$ o bien $Teorema Central del Límite$

Vídeo explicativo de los conceptos:

Distribución Normal

por Antonio Martinez en Estadistica, Estadistica II

Esta distribución resulta útil no sólo porque un gran número de distribuciones de frecuencias presentan formas aproximadamente normales, sino también por su gran significado teórico en el campo de la estadística inferencial. En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:

Caracteres morfológicos de individuos: talla, peso,..
Caracteres sociológicos: consumo de un cierto producto por un grupo de individuos, puntuaciones de examen…
Caracteres psicológicos: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,..
Valores estadísticos muestrales: la media.
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales.

No obstante, hay que tener cuidado al suponer que un determinado conjunto de observaciones se puede aproximar por una distribución normal.

La distribución normal la obtuvo inicialmente De Moivre en 1733 como límite o aproximación de la distribución $Distribución Normal$ cuando $Distribución Normal$ . Posteriormente Gauss en 1809 y Laplace en 1812 llegaron a obtenerla empíricamente al estudiar la distribución de errores accidentales en Astronomía y Geodesia.

Una justificación de la frecuente aparición de la distribución normal es el teorema central del limite, que veremos más tarde, que establece que cuando los resultados de un experimento son debidos a un conjunto muy grande de causas independientes, que actúan sumando sus efectos, siendo cada efecto individual de poca importancia respecto al conjunto, es esperable que los resultados sigan una distribución normal

La curva normal responde al tipo de curva perfectamente simétrica, y unimodal basada en un número infinito de casos, por lo que sólo puede ser tratada de forma aproximada cuando se opera con datos reales. Por tratarse de una curva simétrica coinciden la media, la moda y la mediana.

Diremos que la variable aleatoria, de tipo continuo, sigue una distribución Normal de parámetros $Distribución Normal$ , si su función de densidad es:
$Distribución Normal$ , donde $Distribución Normal$ y tales que $Distribución Normal$ y $Distribución Normal$

La función de densidad depende de dos parámetros: media y varianza de la distribución, y puede verse por la definición que no hay una única distribución normal sino una familia completa de distribuciones.
Abreviadamente esta distribución la indicaremos por: $Distribución Normal$
Se observa que tiene forma de campana, de aquí que frecuentemente se le llame curva o campana de Gauss.
Los parámetros:

$Distribución Normal$ , es el centro de la distribución y también se corresponde con el punto máximo de la distribución.
$Distribución Normal$ , nos da una idea del grado de apertura de la distribución.

Veamos los siguientes ejemplos:

En este caso tenemos dos curvas normales $Distribución Normal$ y $Distribución Normal$ que tienen distintas medias pero tienen la misma desviación típica, por tanto sus centros están en diferentes lugares pero el grado de apertura de ambas distribuciones es el mismo.
En este segundo caso tenemos dos curvas normales $Distribución Normal$ y $Distribución Normal$ que tienen distintas desviaciones típicas pero tienen la misma media. Ahora las curvas están centradas en el mismo punto m pero su grado de apertura es distinto. Como d 1 < d 2 la curva de mayor desviación típica, en este caso d 2 tendrá una mayor dispersión.

Características de ésta distribución:

Función de distribución:

$Distribución Normal$

La integral correspondiente a esta función de distribución sólo puede calcularse mediante métodos numéricos aproximados. Una manera de simplificar estos cálculos es mediante el proceso de tipificación de una variable aleatoria normal, que nos permite pasar de una $Distribución Normal$ a una $Distribución Normal$

La variable normal con media cero y desviación típica la unidad se denomina normal estándar $N(0,1)$; su función de distribución está tabulada. Para calcular probabilidades en el caso general, transformaremos la variable aleatoria normal $Distribución Normal$ en la variable normal estándar $Distribución Normal$ , mediante:
$Distribución Normal$

Si aplicamos el cambio de variable tenemos como función de densidad:
$Distribución Normal$
y su función de distribución es:
$Distribución Normal$
Las características que presenta la normal tipificada son:

No depende de ningún parámetro.
La curva $Distribución Normal$ es también es simétrica respecto del eje OY.
Para realizar la representación gráfica de la función de densidad $Distribución Normal$ correspondiente a la normal $Distribución Normal$ procederíamos de forma análoga a como se hizo para la distribución $Distribución Normal$ .

Media y Varianza

$Distribución Normal$ $Distribución Normal$

Cálculo de probabilidades

Sea $Distribución Normal$ una variable aleatoria normal $Distribución Normal$ con función de distribución acumulada $Distribución Normal$ , y sean $Distribución Normal$ y $Distribución Normal$ dos posibles valores que verifican que $Distribución Normal$ . Entonces: $Distribución Normal$

Cualquier probabilidad puede obtenerse a partir de la función de distribución acumulada, sin embargo, como vimos anteriormente calcular la integral correspondiente a esta función de distribución sólo puede hacerse mediante métodos numéricos aproximados. No obstante cualquier distribución normal puede expresarse como una normal estándar $Distribución Normal$ :
$Distribución Normal$
Donde $Distribución Normal$ es una variable aleatoria normal estándar que está tabulada. En esta tabla encontraremos los valores de:
$Distribución Normal$

No debemos olvidar que se trata de una distribución simétrica y que el área bajo la curva normal es igual a la unidad. Por tanto:

$Distribución Normal$
$Distribución Normal$
$Distribución Normal$

Valoración de la normalidad

La decisión de describir una distribución mediante una curva normal puede determinar el análisis que posteriormente se haga de los datos. Una forma de ver si los datos son aproximadamente normales es observando su histograma. Este nos puede revelar de forma clara características no normales de una distribución: las asimetrías prolongadas, los vacíos entre datos, etc.
Una forma de valorar si una distribución es normal es señalando los puntos $Distribución Normal$ en el eje de ordenadas y observando la probabilidad comprendida en estos intervalos. En el caso de una distribución normal $Distribución Normal$ :

El 68,3 % de las observaciones se encuentran entre $Distribución Normal$
El 95,5 % de las observaciones se encuentran entre $Distribución Normal$
El 97,7 % de las observaciones se encuentran entre $Distribución Normal$

Propiedades de ésta distribución

Si $Distribución Normal$ son variables aleatorias independientes, distribuidas según una $Distribución Normal$ , y si $Distribución Normal$ , entonces la variable aleatoria: $Distribución Normal$ , sigue una distribución: $Distribución Normal$
La suma de n variables aleatorias independientes, $Distribución Normal$ y distribuidas según una $Distribución Normal$ sigue una distribución: $Distribución Normal$
Si $Distribución Normal$ son n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según una $Distribución Normal$ , entonces la variable aleatoria suma de las n variables: $Distribución Normal$ , sigue una distribución: $Distribución Normal$
Si $Distribución Normal$ son n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según una $Distribución Normal$ , entonces la variable aleatoria media aritmética de estas n variables: $Distribución Normal$ , sigue una distribución: $Distribución Normal$

Aproximación a la distribución normal la distribución binomial

El teorema de Moivre (1.756) permite realizar esta aproximación considerando que las variables aleatorias sigan una distribución binomial con: $Distribución Normal$ . Este teorema fue generalizado posteriormente por Laplace en 1.810 para distribuciones no simétricas $Distribución Normal$ .

Vimos que la variable aleatoria binomial era el número de éxitos que tienen lugar cuando se realizan n repeticiones independientes de un experimento o prueba de Bernoulli. La variable aleatoria $Distribución Normal$ puede escribirse como la suma de n variables aleatorias de Bernoulli: $Distribución Normal$

Si $Distribución Normal$ es una variable aleatoria binomial, $Distribución Normal$ , con media $Distribución Normal$ y desviación típica $Distribución Normal$ entonces, cuando $Distribución Normal$ la variable aleatoria: $Distribución Normal$ , es decir: $Distribución Normal$
En la práctica, decir que n es lo suficientemente grande, se traduce en:
$Distribución Normal$

Lo que se hace es aproximar una distribución discreta, como es la binomial, a una distribución normal que es continua, y ya que en el caso continuo la probabilidad o masa asociada a un valor concreto de la variable aleatoria es nulo, tendremos que utilizar la corrección de continuidad de Fisher para calcular la probabilidad deseada:

Probabilidad en $Distribución Normal$	Corrección de continuidad
$Distribución Normal$	$Distribución Normal$
$Distribución Normal$	$Distribución Normal$
$Distribución Normal$	$Distribución Normal$
$Distribución Normal$	$Distribución Normal$

Aproximación a la distribución normal la distribución de Poisson

En el caso de la distribución de Poisson, la variable aleatoria nos establece el número de veces que ocurre un suceso en un determinado intervalo de tiempo, sabemos que la media y la varianza de esta distribución coincide con el parámetro $Distribución Normal$ .

Si el número de ocurrencias esperadas $Distribución Normal$ es elevado y el intervalo de tiempo se divide en subintervalos de idéntica longitud. En ese caso, el número total de ocurrencias es la suma de las ocurrencias de cada subintervalo, y puede verse como la suma de un número moderadamente grande de variables aleatorias, cada una de las cuales representa el número de ocurrencias en un subintervalo del periodo de tiempo, puede utilizarse la distribución normal como una aproximación a la distribución de Poisson. En la práctica la aproximación es aceptable si $Distribución Normal$ .

El procedimiento práctico es análogo al caso de la binomial, así pues si tenemos una variable aleatoria $Distribución Normal$ que se distribuye según una distribución de Poisson de parámetro $Distribución Normal$ , entonces cuando $Distribución Normal$ la variable aleatoria:
$Distribución Normal$ , es decir: $Distribución Normal$

Al igual que en el caso de la distribución binomial es necesario aplicar la corrección de continuidad para calcular las probabilidades.

Distribución Uniforme Continua

por Antonio Martinez en Estadistica, Estadistica II

Es la más sencilla de las distribuciones continuas, surge al considerar una variable aleatoria que toma valores equiprobables en un intervalo finito. Su nombre se debe al hecho de que la densidad de probabilidad de esta variable aleatoria es uniforme sobre todo su intervalo de definición.

La distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.

Diremos que una variable aleatoria sigue una distribución uniforme en un intervalo $Distribución Uniforme Continua$ , con $Distribución Uniforme Continua$ si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cualquier subintervalo es proporcional a la longitud del subintervalo.

La función de densidad es:
$Distribución Uniforme Continua$
Abreviadamente esta distribución la indicaremos por: $Distribución Uniforme Continua$

Características:

Función de distribución:

$Distribución Uniforme Continua$

Media y Varianza

$Distribución Uniforme Continua$

Ver desarrollo

$Distribución Uniforme Continua$

Ver desarrollo

$Distribución Uniforme Continua$

Métodos para la determinación de los costes

por Antonio Martinez en Contabilidad, Contabilidad de Costes

Modelos de costes en la doctrina euro-continental

Full Costing o Coste Completo

Reclasificación de las cargas por naturaleza recibidas de la contabilidad general en costes directos e indirectos.
El coste final de los productos o servicios comprende todos los costes de la explotación corriente, tanto los directos como los indirectos.

Direct Costing o Coste Variable

Reclasificación de las cargas por naturaleza recibidas de la contabilidad general en costes fijos y costes variables.
El coste final de los productos o servicios comprende únicamente los costes variables. Los costes fijos no forman parte del coste del producto, por lo que se llevan globalmente al resultado del período.

Coste Estándar:

Tanto en el modelo del coste completo como en el del coste variable, podemos calcular a priori los costes esperados, previstos o estándar, y compararlos con los que se produzcan realmente (históricos)

Coste Completo de Imputación Racional:

El coste final:

Los costes variables directos e indirectos en función de su utilización efectiva.
Los costes fijos según el porcentaje de producción real, sobre el volumen normal de explotación.

Coste variable perfeccionado:

El coste final incluye los costes variables directos e indirectos y los costes costes fijos propios.
Los costes fijos comunes no forman parte del coste del producto, por lo que se llevan globalmente al resultado del periodo.

Modelos de costes en la doctrina anglosajona

Full Costing o Coste Completo

Modalidades:

por Departamentos
por Órdenes de fabricación

Direct Costing o Coste Variable

Coste Estándar

Método del coste basado en las actividades o ABC (Activity Based Costing)

Como superación de los modelos o métodos de coste completo, aparece recientemente en la doctrina anglosajona el ABC.
Reclasificación de las cargas por naturaleza en costes directos e indirectos al producto.
El coste final de los productos comprende el coste de las actividades de cada producto más los costes directos de cada producto o servicio (materias primas).
Los costes que no son de las actividades ni directos al producto, no forman parte del coste del producto, y se llevan globalmente a resultados.

Distribución de Poisson

por Antonio Martinez en Estadistica, Estadistica II

Consideramos un experimento en el que observamos la aparición de sucesos puntuales sobre un soporte continuo. Suponemos que el proceso se caracteriza por:

Es estable, produce a largo plazo un número medio de sucesos constante $Distribución de Poisson$ por unidad de tiempo, espacio, área…
Los sucesos aparecen aleatoriamente de forma independiente, es decir, el proceso no tiene memoria: conocer el número de sucesos en un intervalo no ayuda a predecir el número de sucesos en el siguiente.

Definimos una variable aleatoria de Poisson como el número de sucesos de un intervalo de longitud fija. En este caso, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson depende solamente del número $Distribución de Poisson$ de resultados que ocurren en un intervalo.

Diremos que la variable aleatoria x sigue una distribución de Poisson de parámetro $Distribución de Poisson$ , si su distribución es: $Distribución de Poisson$

Características:

Función de distribución

$Distribución de Poisson$

Media y Varianza

$Distribución de Poisson$
$Distribución de Poisson$

Propiedad reproductiva

Si $Distribución de Poisson$ y $Distribución de Poisson$ son dos variables independientes distribuidas según una distribución de Poisson, $Distribución de Poisson$ y $Distribución de Poisson$ respectivamente, entonces la variable aleatoria: $Distribución de Poisson$ se distribuye según una distribución Poisson de parámetro $Distribución de Poisson$ , $Distribución de Poisson$

Distribución Binomial

por Antonio Martinez en Estadistica, Estadistica II

La repetición de un experimento juega un papel muy importante en probabilidad, y en estadística. Una generalización de la distribución de Bernoulli se obtiene cuando el experimento o prueba de Bernoulli se repite varias veces. Por tanto, estamos ante un experimento binomial cuando repetimos n veces de forma independiente un ensayo de Bernoulli. Conceptualmente la distribución B(n,p) describe situaciones que se pueden presentar si un mismo suceso dicotómico se observa o se repite n veces y si los posibles resultados en cada ocasión son independientes de los que puedan lograrse en las demás.

Definimos la variable aleatoria binomial x, como el número de éxitos que tienen lugar cuando se realizan en repeticiones independientes de un experimento o prueba de Bernoulli.

Para obtener su función de probabilidad, consideramos que al realizar n repeticiones independientes del experimento hemos obtenido x resultados de éxito (con probabilidad p) y n-x resultados de fracaso con probabilidad q=1-p

$Distribución Binomial$

La probabilidad de x elementos de éxito en cualquier orden, requiere sumar las probabilidades de todos los sucesos mutuamente excluyentes que verifican esta condición.

Estos sucesos se obtienen permutando las letras anteriores de todas las posibles formas:

$Distribución Binomial$

Diremos que una variable aleatoria x sigue una distribución binomial de parámetros n y p si su distribución de probabilidad está dada por:

$Distribución Binomial$

Abreviadamente esta distribución la indicaremos por: $Distribución Binomial$ o bien $Distribución Binomial$

Características:

Función de distribución

$Distribución Binomial$

Media y Varianza

Para obtener la media y la varianza de la distribución tenemos que tener en cuenta que la variable aleatoria binomial tenemos que tener en cuenta que la variable aleatoria binomial esté definida como el número de éxitos que tienen lugar cuando se realizan n repeticiones independientes de un experimento o prueba de Bernoulli, es decir, como suma de n variables independientes: $Distribución Binomial$

$Distribución Binomial$
$Distribución Binomial$

Propiedad reproductiva:

Si $Distribución Binomial$ y $Distribución Binomial$ son dos variables aleatorias independientes distribuidas: $Distribución Binomial$ y $Distribución Binomial$ , entonces la variable aleatoria $Distribución Binomial$ se distribuye según una $Distribución Binomial$

Distribución de Bernoulli

por Antonio Martinez en Estadistica, Estadistica II

Este modelo se utiliza principalmente en situaciones en las que solo pueden ocurrir dos resultados posibles mutuamente excluyentes, uno de ellos de probabilidad p y el otro de probabilidad q=1-p

Supongamos un experimento consistente en observar elementos de una población, con las siguientes características:

Mediante esta observación los elementos sólo pueden clasificarse en dos categorías, que generalmente se llamarán "éxito" al suceso de probabilidad p y "fracaso" al suceso de probabilidad q=1-p
La proporción de sucesos "éxito" y "fracaso" en la población es constante y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada. Esto implica que los elementos se reemplazan una vez observados en la población.
Las observaciones son independientes, la probabilidad de "éxito" es siempre la misma, no se modifica.

Diremos que una variable aleatoria X sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p si su distribución de probabilidad está dada por: $Distribución de Bernoulli$

La variable aleatoria X quedará definida como:

$Distribución de Bernoulli$

Abreviadamente: $Distribución de Bernoulli$ ó $Distribución de Bernoulli$

Características:

I. Función de distribución:	$Distribución de Bernoulli$
II. Media:	$Distribución de Bernoulli$
III. Varianza:	$Distribución de Bernoulli$
IV. Función generatriz de momentos:	$Distribución de Bernoulli$

La formación del coste

por Antonio Martinez en Contabilidad de Costes

Contabilidad General y Contabilidad de Costes: Diferentes necesidades de información

En el seno de la unidad económica de producción se da una transformación de calores, es decir, la empresa dispone de unos recursos (o medios) que sacrifica, emplea o consume para obtener unos productos terminados o servicios que saca al mercado. La realización de esta actividad productiva da lugar a unos datos que se deben analizar, interpretar y registrar, utilizando un sistema informativo contable.

La información que genera la empresa y las necesidades de los usuarios externos y de la dirección de la empresa

Con los datos contables que genera la actividad de la empresa, ésta debe atender diversos objetivos.

Por una parte, tiene que atender las necesidades de información de los usuarios externos, objetivo que cumplirá a través de la llamada Contabilidad General. Para ello debe presentar un determinado tipo de datos contables y de una manera determinada, es decir, de una manera normalizada (en el caso español cumpliendo las normas del PGC) con la finalidad de permitir la comparación en el tiempo y con otras empresas.

Estos datos contables, que necesitan los usuarios externos, normalmente tienen su correspondencia y provienen de las empresas con el exterior y constituyen al contenido de la llamada Contabilidad General, Financiera, Legal o Contabilidad del Movimiento externo de valores.

Por otra parte, debe atender las necesidades de información de la dirección de la empresa, actividad que llevará a cabo con ayuda de la Contabilidad de Costes. La duración necesita utilizar los datos contables que generan las operaciones internas de la empresa o cadena de valor desde que entra una materia prima (coste de compra) hasta que sale el producto terminado (coste final), para poder abordad con eficacia la planificación y control de su actividad productiva. Estos datos contables, generados por las operaciones internas de la empresa constituyen el contenido de la llamada Contabilidad Interna, de Coste, de Gestión, Directiva… o Contabilidad del Movimiento Interno de Valores

La Relación entre la Contabilidad General y la Contabilidad de Costes

En conclusión, la Dirección de la empresa debe disponer tanto de los documentos contables del movimiento externo de valores como de los datos contables del movimiento interno de valores: la General y la de Coste. La primera es una contabilidad legal, mientras que la segunda es una contabilidad económica, cuyas relaciones son:

Del Concepto del gasto al concepto de coste

Para llegar al concepto del coste se parte del concepto de gasto de contabilidad general. Las cargas incorporables han de:

estar recogidas en el grupo VI del PGC
depender directamente de la explotación normal y corriente (gastos de explotación y gastos financieros), y
tener el carácter de habitual

y el importe por el que se incorporan dichas cargas al proceso de contabilidad de costes será el que corresponda a su utilización efectiva.

Etapa del cálculo de los costes

La empresa es un ámbito de transformación de valores. Este proceso de transformación sigue una sucesión lógica que, para el caso más simple de una empresa industrial podemos decir que se compone de tres grandes fases:

Aprovisionamiento de materias primas
Fabricación de productos terminados, y
Comercialización de los productos terminados

A cada una de estas etapas corresponde una categoría de costes:

Coste de Compra a nivel de aprovisionamiento
Coste de Producción a nivel de fabricación, y
Coste de Venta a nivel de comercialización

El Coste de Compra está constituido por el conjunto de cargas incorporables al cálculo del coste del aprovisionamiento hasta su puesta en el almacén, y comprende:

cargas directas: Importe de la factura o de la compra, más los gastos accesorios.
cargas indirectas: Que haya que repartir entre distintos tipos de compra.

El Coste de Producción está constituido por el conjunto de cargas incorporables correspondientes a la obtención de un producto hasta su almacenamiento, y comprende:

cargas directas: consumo de materias primas y cargas del personal que trabaja directamente para el producto (llamada mano de obra directa)
cargas indirectas: que haya que repartir entre los distintos tipos de producción

El Coste de Venta está constituido por el conjunto de cargas incorporables correspondientes a la comercialización de un producto, y que comprende:

cargas directas: comisiones a los vendedores, gastos de envío a los clientes…
cargas indirectas: las cargas incorporables por el funcionamiento de los servicios comerciales y de publicidad, nómina de los vendedores, amortización de inmovilizado, suministros…

Por último, el coste final es la suma del coste de producción a los productos vendidos más el coste de venta correspondiente a dichos productos vendidos.

Este coste final así calculado es el que se contrapone a los ingresos del producto para obtener los resultados.

El Inventario Contable Permanente

Frente al inventario de contabilidad general que se hace de manera "intermitente", la contabilidad de costes necesita llevar un inventario contable permanente. Este procedimiento contable para tratar las existencias, permite saber a la empresa e n todo momento cuáles han sido los movimientos (entradas o salidas) en cantidades y en valor de las distintas tipo de existencia y cuál es su saldo en una fecha determinada.

Los elementos inventariables a que hacen referencia las cuentas de inventario contable permanente, son de la más variada naturaleza: el fuel para la calefacción, los envases, los residuos de fabricación, tornillos para las maquinas, productos terminados… constituyen una lista de cosas heterogéneas. Por esa heterogeneidad no tendrá en sí mucha importancia si no lleva aparejada otra heterogeneidad, relevante desde el punto de viste de la contabilidad de costes.

Efectivamente, los elementos inventariables de que venimos hablando desempeñan una función radicalmente distinta en el proceso productivo: las materias primas y otros aprovisionamientos son elementos que deben pasar por el proceso productivo, mientas que los productos terminados ya han salido de él. Aquellos son inputs del proceso, éstos son outputs del mismo proceso.

Pata trabajar y simplificar esta heterogeneidad podemos distinguir dos tipos de existencia o inventarios:

Aquellos que normalmente se van a incorporar al proceso productivo (v.gr. materias primas, materiales para el consumo y reposición) o reincorporar al mismo (v.gr. residuos aprovechables, productos defectuosos a tratar de nuevo, productos en cursos, y semiterminados…)
Aquellos que provienen del proceso productivo y están destinados al mercado exterior de productos o venta, v.gr. productos terminados, residuos y productos defectuosos que no se incorporan al proceso, sino que salen del almacén al mercado…

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